Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Теория механизмов и машин Методы изготовления зубчатых колес Конические зубчатые передачи Трение в кинематических парах Коэффициент полезного действия (КПД) Повышение надежности машин

Теория машин и механизмов

Эвольвентная передача

При выборе на практике задания для профилирования зубцов приходится руководствоваться соображениями кинематического, технологического и, наконец, эксплуатационного характера.

Теоретически можно построить зубчатый механизм с самыми различными профилями зубьев, практически выбор очертания профилей зубьев в значительной степени стеснен вышепоставленными требованиями. Вследствие этого в машиностроении обычно используется только несколько видов кривых в качестве профилей зубьев. Из этих кривых мы остановимся на так называемой эвольвенте круга, являющейся основным типом кривых, по которым очерчиваются профили зубцов современных зубчатых механизмов.

Эвольвента, её свойства и уравнение

Эвольвентой называется кривая, представляющая собой след точки прямой, перекатываемой без скольжения по окружности (рис. 15), называемой основной. Точка С, лежащая на основной окружности, называется начальной точкой эвольвенты. Перекатываемая прямая называется образующей. Прямую и окружность можно считать центроидами, а так как окружность при построении эвольвенты остается неподвижной, то она является центроидой неподвижной, а прямая –– центроидой подвижной. Характеристика технической системы Назначение редуктора: Напряжения Метод сечений не позволяет установить закон распределения внутренних сил по сечению. Необходимы дополнительные допущения о характере деформации. Эти допущения вводят при изучении различных видов деформации бруса. Можно ли с помощью метода сечения определить закон распределения внутренних сил по сечению?

Радиусом кривизны эвольвенты является отрезок нормали, проведенный через точку эвольвенты до точки касания с начальной окружностью.


Основная окружность представляет собой геометрическое место центров кривизны эвольвенты и является эвольвентой.

Рис. 15. Эвольвента окружности

Проведем окружность радиусом rb, называемую основной, проведем к ней касательную производящую прямую t–t и покатим её по окружности без скольжения сначала по часовой стрелке, а затем против часовой стрелки. Любая точка прямой, например точка Мt, опишет при этом эвольвенту. Эвольвента имеет две симметричные ветви и точку возврата М0, находящуюся на основной окружности.

Наиболее важными для расчёта зубчатых передач являются следующие свойства эвольвенты:

Нормаль к эвольвенте есть производящая прямая, то есть нормаль к эвольвенте касательна к основной окружности.

При увеличении радиуса rb основной окружности эвольвента постепенно теряет свою кривизну (в пределе при  эвольвента превращается в прямую линию).

Укажем полярные координаты точки : полярный угол  и полярный радиус-вектор  (отрезок ОМ), а также профильный угол МОА, означаемый . Составим уравнение эвольвенты, т.е. установим аналитическую связь между координатами,  и .

Так как прямая t–t катится по основной окружности без скольжения, то отрезок в точности равен дуге :

 = . (1)

Так как , а , то подставляя эти выражения в (1), получим , откуда

. (2)

Из  имеем

. (3)

Исключив из системы уравнений (2), (3) параметр , получим связь между координатами  и . Таким образом, система уравнений (2), (3) представляет собой уравнение эвольвенты в параметрической форме.

Из уравнения (2) видно, что . Эта зависимость называется эвольвентой и символически записывается так:

 . (4)

Удлиненная и укороченная эвольвенты

Удлиненную эвольвенту описывает точка, жестко связанная с производящей прямой и находящаяся в начальный момент обкатки внутри основной окружности.

Укороченную эвольвенту описывает точка, жестко связанная с производящей прямой и находящаяся в начальный момент обкатки вне основной окружности.

Эвольвентное зацепление Рассмотрим эвольвенты и свойства внешнего зацепления, образованного эвольвентными профилями Э1 и Э2. Эти профили базируются на основных окружностях. Поскольку преимущественное распространение в технике получили зубчатые передачи с постоянным передаточным отношением, прежде всего, выясним, способны ли эвольвентные профили обеспечить это постоянство.

Вместо инструментальной рейки можно применять червячную фрезу, профиль которой может быть получен из рейки. В самом деле, если провести сечение червячной фрезы плоскостью, содержащей ось фрезы, то в сечении мы получим рейку. Таким образом, профиль червячной фрезы может быть получен путем перемещения рейки по винтовой линии с некоторым постоянным углом подъема.

Меняя угол  и наблюдая за перемещением точки D по окружности, можно отметить следующие характерные особенности данного напряженного состояния. Подчеркнем, что рассматриваются только такие наклонные площадки, которые перпендикулярны к третьей главной площадке.

1. Главное напряжение  является наибольшим возможным для данной задачи; оно соответствует площадкам, характеризуемым углом , т. е. параллельным 1-й главной площадке.

2. Главное напряжение  является наименьшим возможным для данного семейства площадок: оно соответствует площадкам, параллельным 2-й главной площадке.

3. Наибольшее по абсолютной величине касательное напряжение численно равно полуразности главных напряжений  и :

.

Эти напряжения изображаются точками Т и Т1 круговой диаграммы. Соответствующие площадки составляют углы  с 1-й и 2-й главными площадками.

4. Напряжения на взаимно перпендикулярных площадках изображаются двумя точками D и D1 диаграммы, расположенными по концам одного диаметра. Отсюда следует, что

.

Формула выражает приведенный выше закон взаимности (парности) касательных напряжений.

Рисунок 1.10

Рисунок 1.11

Необходимо обратить внимание на тот факт, что слова «наибольшее» и «наименьшее» в пп. 1 и 2 данных выводов следует понимать
в алгебраическом, а не в арифметическом смысле.

Здесь разобран случай двустороннего растяжения, когда . Нетрудно убедиться, что в случае двустороннего сжатия (рис. 1.11 б) или в случае смешанного двухосного напряженного состояния (рис.1.11 а) аналитический вид формул остается без изменения.

Контрольные вопросы

1. Что такое плоское напряженное состояние?

2. Чему равны нормальные и касательные напряжения при плоском напряженном состоянии?

3. В каких площадках возникают и чему равны наибольшие касательные напряжения?

4. Как построить круг Мора для плоского напряженного состояния?

5. Как определить нормальные и касательные напряжения по кругу Мора для наклонной площадки?

Предмет и содержание курса Сопромат – наука, занимающаяся созданием основ расчета элементов конструкции на прочность, жесткость и устойчивость. Прочность – способность элементов конструкций выдерживать заданную нагрузку, не разрушаясь. Изложение методов расчета элементов конструкции на прочность и составляет I задачу курса «Сопромата». Жесткость – способность элементов конструкции выдерживать заданную нагрузку, не деформируясь. Расчет на жесткость – II задача. Устойчивочть - способность элементов конструкции сохранять форму первоначального равновесия под действием заданной нагрузки.


Расчет напряжений и перемещений при сложной деформации