Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Курс практики по математике Криволинейные интегралы Векторный анализ Поверхностные интегралы Числовые  ряды Вычисление двойного интеграла Тройной интеграл Производная по направлению Экстремум функции

Курс практики по математике Примеры решения задач

Поверхностные интегралы 2 рода.

Пусть через замкнутую поверхность проходит поток жидкости или тепла. Входящий и выходящий потоки дают взаимоисключающий результат и поэтому их надо различать. Различать их можно по знаку cos, где  - угол между нормальным вектором внешней стороны замкнутой поверхности и направляющим вектором потока. Для выходящего

потока  - острый угол и cos>0 , для входящего потока  - тупой угол и cos<0 . Для описания потоков используют специальные поверхностные интегралы, которые учитывают направление потоков через поверхность.

Определение.

Пусть дана гладкая двухсторонняя поверхность G - z = z(x,y) . Её проекция на плоскость xOy занимает область D и ограничена замкнутым контуром L .

Выберем сторону поверхности G с нормальным вектором  n и проведем на ней произвольный замкнутый контур. Обход контура можно совершить двумя способами против или по часовой стрелке при взгляде с конца n. Направление против часовой стрелки выбираем за положительное. Пусть на G определена функция  f(x,y,z).

Сеткой линий разделим G на m участков G1, G2, . . . ,Gm , которые имеют на плоскости хОу проекции D1, D2, . . . Dm. Нормальным вектором плоскости хОу служит ось Оz.

 В каждом Gi выберем точку Mi , определим в ней значение функции f(Mi) и нормальный вектор ni = {} , который пересекается с ось Oz под углом .

3)Составим интегральную сумму П(m) =   ( 10 )

Множитель  означает, что вклады от разных участков берутся с разными знаками. Если при положительном обходе контура элемента Gi обход его проекции  Di также положителен, то знак (+), иначе (-). Совпадение направлений обхода означает, что угол между Oz и n острый и cos > 0 и выбранная поверхность является верхней. Из несовпадения следует - угол тупой, cos< 0. Появление членов с разными знаками происходит только при рассмотрении цилиндрических и замкнутых поверхностей. Считаем, что проекции Gi имеют форму прямоугольника Di = .

Опр. Поверхностным интегралом 2-ого рода для функции f(x,y,z) по двухсторонней ориентированной поверхности G наз. конечный предел интегральной суммы, полученной путем разбиения G на малые участки и проектирования их на координатные плоскости.

J =  =  ( 11 )

Символ dxdy показывает, что суммирование проводится по площади проекции элемента поверхности G на плоскость xOy. При замене выбранной стороны G на противоположную интеграл ( 11 ) меняет знак. Если проектировать элементы поверхности G на плоскости xOz, yOz , то получим аналогичные интегралы   ,  и построим обобщенный поверхностный интеграл 2 рода с учетом трех различных функций

 , ( 12 )

который распространяется на определенную заранее сторону двухсторонней поверхности.

Вычисление интегралов.

Если  G задана явным уравнением z = z(x,y) и точки (х,у) образуют замкнутую область  D , где сама функция и ее производные ,  непрерывны, то все члены интегральной суммы ( 10 ) имеют одинаковый знак и вычисление интеграла ( 11 ) сводится к вычислению обычного двойного интеграла

 J =  =  ( 13 )

Необходимо только заранее определить острый или тупой угол с осью Oz образуют нормальные вектора n выбранной стороны поверхности. Если угол тупой, то у интеграла меняют знак. Если поверхность G замкнута, то она разделяется на несколько кусочно- ориентированных поверхностей. Границами раздела служат линии на которых направляющие косинусы равны 0. 

 Пр. Вычислить интеграл , где G – внешняя сторона куба, составленного плоскостями  x = 0, y = 0, z = 0, x = 1, y = 1, z = 1.

Решение: J = J1(z=0) + J2(y=0) + J3(x=0) + J4(z=1) + J5(y=1) + J6(x=1)

G1: z = 0dz = 0,n1 Oz =>/2(-), J1 = (-)(0+0+) = 0 Аналогично J2 = J3 = 0 . G4 : z = 1 dz = 0, n4 Oz = 0 </2(+),

J4 = (+)(0 + 0 +) = 1 – площадь единичного квадрата.

Аналогично J5 = J6 = 1 . Окончательно J = 3 .

Поскольку площадь элемента поверхности  dS связана с площадью его проекции на координатную плоскость простым соотношением

dS = dxdy = или dxdy = cosdS

то от поверхностного интеграла 2 рода легко перейти к поверхностному интегралу 1 рода

 =  ( 14 )

Отличие между ними только в присутствии или отсутствии направляющего косинуса нормального вектора поверхности. Для обобщенного интеграла имеем

 =  =  ( 15 )

если функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) понимать как координаты вектора = {P;Q;R} .

Понятие определенного интеграла. Обозначим длину наибольшего из отрезков разбиения через max ?хi, где i=1,2,…п Определение. Пусть предел интегральной суммы ? f(Ci)?xi при стремлении max ?хi к нулю существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [a, в] на части и от выбора точек С1, С2, …, Сп. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у = f(х) на [а, в]
Уравнения математической физики