Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Курс практики по математике Криволинейные интегралы Векторный анализ Поверхностные интегралы Числовые  ряды Вычисление двойного интеграла Тройной интеграл Производная по направлению Экстремум функции

Курс практики по математике Примеры решения задач

Экстремум функции нескольких переменных

1. Понятие экстремума, необходимое и достаточное условия

 Пусть функция z=f(x;y) задана в некоторой окрестности точки M0(x0;y0) V(M0).

Определение 1. Функция z=f(x;y) имеет в точке M0(x0;y0) строгий максимум (строгий минимум), если , такая, что  выполнено неравенство f(x;y)<f(х0;y0) (f(x;y)>f(х0;y0)).

Определение 2. Функция z=f(x;y) имеет в точке M0(x0;y0) максимум (минимум), если , такая, что  выполнено неравенство f(x;y)£f(х0;y0) (f(x;y)³f(х0;y0)).

Определение 3. Функция z=f(x;y) имеет в точке M0(x0;y0) (строгий) экстремум, если она имеет в этой точке (строгий) максимум или (строгий) минимум.

Точку М0 называют точкой (строгого) экстремума, а значение функции в ней, т.е. f(M0) – (строгим) экстремумом.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Пусть функция z=f(x;y) достигает экстремума в точке M0(x0;y0). Если в этой точке существуют частные производные  и , то они в этой точке равны нулю, то есть =0 и =0.

Доказательство.

  Пусть z=f(x;y) имеет в точке M0(x0;y0) максимум. Тогда , такая, что выполнено

f(x;y)£f(х0;y0).  (1)

Рассмотрим точки окрестности Vd(M0), для которых y=y0. На этом множестве точек, т.е. на , функция f(x;y) превращается в функцию f(x;y0) одной переменной х. Из (1) следует, что f(x;y0)£f(х0;y0) . Это означает, что функция одной переменной f(x;y0) имеет в точке х0 максимум. По условию . Она совпадает с  в точке х0, т.е =. На основании необходимого условия экстремума функции одной переменной =0. Следовательно, =0.

Аналогично, рассмотрим точки окрестности Vd(M0), для которых х=х0. На этом множестве точек, функция f(x;y) становится функцией f(x0;y) одной переменной у. Из (1) следует, что f(x0;y)£f(х0;y0) . Значит, функция одной переменной f(x0;y) имеет в точке у0 максимум. По необходимому условию экстремума функции одной переменной =0. Следовательно, =0.

Замечание. Если функция z=f(x;y) дифференцируема в точке (х0;y0), то условие   равносильно условию df(х0;y0)=0.

Следствие. Если функция z=f(x;y) имеет экстремум в точке (х0;y0) и дифференцируема этой точке, то df(х0;y0)=0.

Определение 3. Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками функции z=f(x;y).

Определение 4. Точки, в которых частные производные равны нулю (или не существуют) называются критическими точками функции z=f(x;y).

  Из теоремы 1 и определения 3 следует, что если функция дифференцируема, то точки экстремума являются стационарными точками. Обратное неверно. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Пример. D Рассмотрим функцию z=f(x;y)=x2-y2, f(0;0)=0.

,  Þ (0;0) – стационарная точка.

Рассмотрим . На оси Ох f(x;0)=x2>0, на оси Оу f(0;y)=-y2<0. Следовательно, в любой окрестности  есть значения функции, как большие f(0;0)=0, так и меньшие f(0;0)=0. Значит, точка (0;0) не может быть точкой экстремума. D

Теорема 2 (достаточное условие экстремума).

Пусть функция z=f(x;y) определена и имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М0(x0;y0) V(x0;y0). Пусть М0(x0;y0) - стационарная точка, то есть  и . Обозначим

.

Тогда

1) если  то z=f(x;y) имеет в точке М0(x0;y0) экстремум, причем при A<0 (C<0)- локальный максимум, при A>0 (C>0) - локальный минимум;

2) если , то точка М0(x0;y0) не является точкой экстремума;

3) если , то никакого заключения о характере стационарной точки сделать нельзя, требуются дополнительные исследования.

Доказательство.

  Т.к. по условию функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то можем записать для нее формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, ограничиваясь двумя членами:

  (0<q<1).

Т.к. М0(x0;y0) - стационарная точка, то df(x0;y0)=0, следовательно,

,

где Dх=х-х0, Dу=y-y0.

Положим

, где ,

, где ,

, где .

Т.к. частные производные второго порядка непрерывны, то . Полное приращение функции запишется в виде:

.

Положим , где .

Тогда

.(2)

1) Пусть .

 В этом случае АС>0, следовательно, А¹0, и первый трехчлен в скобках в формуле (2) можно записать следующим образом:

.  (3)

Очевидно, что при  выражение в квадратных скобках положительно. Следовательно, первый трехчлен формулы (2) сохраняет знак коэффициента А. Модуль этого трехчлена – непрерывная на [0;2p] функция от j и, значит, достигает на [0;2p] своего наименьшего значения m:

.

  Теперь рассмотрим второй трехчлен в (2). Если выбрать r достаточно малым (а, значит, и Dх, Dу малы), то, поскольку a,b,g®0 при Dх,Dу®0, будем иметь

.

Но тогда все выражение в скобках в (2) будет сохранять тот же знак, что и первый трехчлен, то есть знак коэффициента А.

 Итак, если A>0, то и Df(x0;y0)>0. Следовательно, f(x;y)>f(x0;y0). Т.е. в точке (x0;y0) функция имеет строгий минимум. А если A<0, то и Df(x0;y0)<0. Следовательно, f(x;y)<f(x0;y0). Значит, в точке (x0;y0) функция имеет строгий максимум.

 2) Предположим теперь, что .

 а) Пусть А¹0. Тогда можно использовать преобразование (3).

Если j=j1=0, то из (3) следует, что выражение в квадратных скобках равно .

Если j=j2 определить так, что Acosj2+Bsinj2=0 (ясно, что при этом sinj2¹0, т. к. иначе будет А=0), то выражение в квадратных скобках равно .

Если r достаточно мало, то второй трехчлен в скобках в (2) будет сколь угодно мал. Следовательно, знак Df определяется знаком первого трехчлена.

Из (3) следует:

 при A>0 и j=j1 он положителен,

 j=j2 он отрицателен,

  при A<0 и j=j1 он отрицателен,

 j=j2 он положителен.

Итак, в любой окрестности точки (х0;y0) Df будет иметь значения противоположных знаков на лучах j=j1 и j=j2. Следовательно, точка (х0;y0) не может быть точкой экстремума.

 б) Пусть А=0. Тогда первый трехчлен в (2) равен

.

Если А=0, то из условия  следует, что В¹0. Тогда можно взять угол j настолько малым, чтобы выражение 2Bcosj+Csinj было близко к 2В и, значит, сохраняло знак. Тогда при j=j1 и j=-j1 первый трехчлен в (2) будет иметь противоположные знаки. Следовательно, и в этом случае точка (х0;y0) не может быть точкой экстремума.

 Теорема 2 равносильна следующей теореме.

 Теорема 3. Пусть df(х0;y0)=0. Если d2f(х;y) сохраняет знак в некоторой достаточно малой окрестности точки (х0;y0), то в этой точке функция имеет строгий экстремум, причем, если d2f(х0;y0)<0, то строгий максимум, а если d2f(х0;y0)>0, то строгий минимум.

 В таком виде достаточное условие экстремума переносится на случай функций любого числа переменных.

Пример. Исследовать функцию f(x;y)=xy(a-x-y), a>0 на экстремум.

D  .

 Найдем стационарные точки.

f¢x=y(a-x-y)-xy=y(a-2x-y),  f¢y=x(a-x-y)-xy=x(a-x-2y) 

    

   

 

Стационарные точки: О(0;0), М(а;0), N(0;a), .

 Проверим, являются ли они точками экстремума.

.

О(0;0): А=0, В=а, С=0, АС-В2=0-а2<0 Þ экстремума нет;

М(а;0): А=0, В=-а, С=-2а, АС-В2=0-а2<0 Þ экстремума нет;

N(0;a): А=-2a, В=-а, С=0, АС-В2=0-а2<0 Þ экстремума нет;

, , ,

  Þ К – точка экстремума, т.к. A<0, то  - точка максимума. D

2. Экстремум неявно заданной функции

  Пусть уравнение F(x;y;z)=0 задает неявно функцию z=f(x;y). Пусть функция  дважды непрерывно дифференцируема в . Если (х0;у0) – стационарная точка, то в ней выполнены равенства:

,

.

Очевидно, верно и обратное утверждение. Следовательно, стационарные точки неявной функции могут быть найдены из системы:

 Достаточное условие формулируется так же, как в случае явного задания функции.

3. Нахождение наибольших и наименьших значений

 Пусть функция z=f(x;y) определена и дифференцируема на ограниченной замкнутой области G. Тогда она на имеет наибольшее и наименьшее значения. Если наибольшее (наименьшее) значение функция f принимает во внутренней точке области , то эта точка является точкой максимума (минимума). Т.о., ²подозрительными² точками внутри области являются стационарные точки. Но функция f может принимать наибольшее (наименьшее) значения и на границе области G.

План нахождения наибольшего и наименьшего значений функции

Найти стационарные точки внутри области и значения функции в них.

Найти наибольшее и наименьшее значения на границе области и значения функции в них. Для этого границу области следует задать либо одним уравнением, либо параметрически. Тогда на границе исходная функция будет функцией одного переменного.

Если в области существуют точки, в которых функция не дифференцируема, то надо вычислить в них значения функции.

Из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x;y)=2x2-2y2 в круге х2+у2£9.

D  1) ,  Þ (0;0) – стационарная точка.

z1=f(0;0)=0.

 2) Граница области задана уравнением х2+у2=9. Отсюда у2=9-х2. Тогда на границе получаем функцию одной переменной: z=2x2-2(9-х2), z=4х2-18, xÎ[-3;3].

z¢=8x, z¢=0 при х=0. Тогда у=±3. Значения функции в стационарных точках границы: z2=f(0;3)=-18, z3=f(0;-3)=-18.

Значения функции на концах отрезка [-3;3]: z4=f(3;0)=18, z5=f(-3;0)=18.

 3) zнаиб.=f(3;0)=f(-3;0)=18, zнаим.=f(0;3)=f(0;-3)=-18. D

Основные свойства неопределенного интеграла. 1. ( (f(x)dx)` = f(x). Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению. d( f(x)dx) = f(x)dx. 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого. d(F(x)) = F(x) + C. 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: , где к - число 5. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций
Уравнения математической физики