Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Курс практики по математике Криволинейные интегралы Векторный анализ Поверхностные интегралы Числовые  ряды Вычисление двойного интеграла Тройной интеграл Производная по направлению Экстремум функции

Курс практики по математике Примеры решения задач

Дифференциалы высших порядков

 I. Пусть z=f(x;y), где х, у – независимые переменные, определена на области G и имеет на этой области непрерывные частные производные. Тогда она дифференцируема, и ее дифференциал равен

, где dx=Δx, dy=Δy.

Следовательно, dz – функция четырех переменных: х, у, dx, dy. Зафиксируем dx и dy. Тогда dz=φ(x;y). Если функция f на G имеет непрерывные частные производные второго порядка, то функция dz=φ(x;y) на этой области имеет непрерывные частные производные, следовательно, она дифференцируема на G и имеет дифференциал.

Определение. Дифференциалом второго порядка d2z функции z=f(x;y) называется дифференциал от ее дифференциала первого порядка dz:

d2z=d(dz).

.

Т.к. , то

. (6)

Символическая запись второго дифференциала: .

 Если функция f на G имеет непрерывные частные производные третьего порядка, то функция d2z=ψ(x;y) на этой области имеет непрерывные частные производные, следовательно, она имеет дифференциал. Дифференциал от этой функции называется дифференциалом третьего порядка функции z=f(x;y) и обозначается d3z. Таким образом,

.

Символическая запись: .

 Если функция f на G имеет непрерывные частные производные n-го порядка, то на G существует дифференциал n-го порядка, и он определяется с. о.: dnz=d(dn-1z).

.

  II. Дифференциалы высших порядков от сложной функции.

 Пусть z=f(x;y) определена на области G, x=φ(u;v), y=ψ(u;v) определены на области H, где u, v – независимые переменные, причем "(u;v)ÎH . Тогда  определена на H. Если функция z=f(x;y) имеет непрерывные частные производные n-го порядка на G, и функции x и y имеют непрерывные частные производные n-го порядка на H, то сложная функция h имеет непрерывные частные производные n-го порядка на H. Тогда существуют дифференциалы 1, 2,…, n-го порядков от сложной функции h(u;v) на H.

  ( - функции от u и v),

,

dz – функция от u и v.

.

Следовательно, . (7)

 Вывод. Сравнивая (6) и (7) видим, что дифференциал второго порядка не имеет инвариантной формы. Дифференциалы высших порядков также не обладают свойством инвариантности формы.

 Частный случай.

 Пусть z=f(x;y) определена на G, , где u, v – независимые переменные, α1,…, γ2 – числа. Тогда

.

,

.

Значит, dx и dy не зависят от u и v, и поэтому d2x=d(dx)=0, d2y=d(dy)=0. Подставляя эти равенства в (7), получим (6).

 Т.о., в частном случае, когда x и y – линейные функции, форма второго дифференциала инвариантна. Аналогично, и формы дифференциалов высших порядков в этом случае инвариантны.

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на интервале Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается f(x)dx, где - знак интеграла, f(x) - подинтегральная функция, f(x)dx - подинтегральное выражение. Таким образом f(x)dx = F(x) + C, F(x) - некоторая первообразная для f(x), С - произвольная постоянная. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции
Уравнения математической физики