Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Курс практики по математике Криволинейные интегралы Векторный анализ Поверхностные интегралы Числовые  ряды Вычисление двойного интеграла Тройной интеграл Производная по направлению Экстремум функции

Курс практики по математике Примеры решения задач

Производная по направлению. Градиент

1. Производная по направлению

 Рассмотрим функцию трех переменных u=f(x,y,z), определенную на множестве G. Пусть точка . Через точку М0 проведём прямую l. Выберем произвольно на l точку М1 и установим таким образом направление . Тогда l – прямая с выбранным направлением.

 Пусть М(x,y,z) – переменная точка на прямой l. Через М0М обозначим ориентированную длину отрезка М0М, т.е. М0М=|М0М|, если направление отрезка совпадает с направлением l (точки М и М1 лежат по одну сторону от точки М0) и М0М=-|М0М|, если направление отрезка не совпадает с направлением l. Полное приращение функции:

  .

 Определение. Если существует конечный предел

,

то он называется производной функции f в точке М0 по направлению l.

Обозначается .

 Замечание. Производная  функции f(x) в точке х0- это скорость изменения функции в точке х0. Частная производная  - скорость изменения функции в точке М0 по направлению оси Ох; частная производная  - скорость при функции в точке М0 по направлению оси Оу, а - по направлению оси Oz. Тогда  - скорость изменения функции в точке М0 по направлению l. Если направление l совпадает с положительным направлением оси Ох, то =. Аналогично для . Т.е. частные производные функции – это производные по направлению координатных осей.

 Теорема (достаточное условие существования производной по направлению l). Если u=f(x,y,z) дифференцируема в точке М0, то в этой точке существует производная по направлению, исходящему из точки М0, и

, (1)

где   - направляющие косинусы направления l (координаты единичного вектора в этом направлении).

Доказательство.

   Проведём через точку М0 прямую l возьмём на ней точку М,  - ориентированная длина.

   .


По условию функция f дифференцируема в точке М0. Следовательно, её полное приращение можно записать в виде

,  (2)

где  при . Разделим (2) на :

. (3)

Пусть М®М0. Тогда . Тогда  (проекции  на оси координат) стремятся к 0. Следовательно, . Значит, правая часть равенства (3) при  стремится к . Это означает, что существует и левой части: . Переходя в (3) к , получим (1).

Пример. . Найти производную в точке М0(1,-2,3) в направлении вектора, соединяющего точки А(1;2;3) и В(3;3;1).

 (2,1,-2), , .

,

,

,

.

2. Градиент

 Пусть функция u=f(x,y,z) определена и дифференцируема на множестве G.

 Определение. Градиентом функции u=f(x,y,z) в точке М0 называется вектор с координатами .

Обозначается  или .

Итак, .

  Если функция f дифференцируема на G, то в каждой точке МG определён вектор . В этом случае говорят, что градиент функции f образует векторное поле на G, и оно называется векторным полем градиентов.

  Теорема. Если функция u=f(x,y,z) дифференцируема в точке М0, то производная по направлению l в точке М0  равна проекции градиента функции f в этой точке на направление l.

Доказательство.

  Т.к. функция f дифференцируема в точке М0, то в этой точке существуют производная по направлению l и градиент, т.е. имеем

,

.

Через  обозначим единичный вектор направления l: .

Тогда (скалярное произведение).

Т.к. , где - угол между векторами  и , то, учитывая, что  а , получим . Следовательно, .

Свойства градиента

 1. Производная в данной точке М0 по направлению l имеет наибольшее значение, если направление l совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение

.

Доказательство.

   .

Ясно, что  имеет наибольшее значение, когда , т.е. когда φ=0. Это означает, что направление  совпадает с направлением .

 2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору градиента, равна нулю (следует из доказательства теоремы).

 3. В каждой точке М0 области определения функции градиент функции f направлен по нормали к поверхности уровня проходящей через эту точку.

4. ;

5. , где с=const;

6.

Свойства 4-6 следуют из определения градиента и правил дифференцирования.

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на интервале Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается f(x)dx, где - знак интеграла, f(x) - подинтегральная функция, f(x)dx - подинтегральное выражение. Таким образом f(x)dx = F(x) + C, F(x) - некоторая первообразная для f(x), С - произвольная постоянная. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции
Уравнения математической физики