Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Курс практики по математике Криволинейные интегралы Векторный анализ Поверхностные интегралы Числовые  ряды Вычисление двойного интеграла Тройной интеграл Производная по направлению Экстремум функции

Курс практики по математике Примеры решения задач

Геометрический смысл дифференциала

 Пусть функция z=f(x;y) дифференцируема в точке (х0;у0). Тогда в этой точке существует дифференциал , а график функции в точке (x0;y0;z0) имеет касательную плоскость, задаваемую уравнением (11).

Р0 – точка касания, Q – касательная плоскость, т. LÎQ, [P0L]ÎQ,  принадлежит поверхности z=f(x;y). P0K║М0М, М0 – проекция точки Р0 на хOу.

KP=MP–МК=MP–M0P0=z–z0=∆z.

∆z – приращение аппликаты на поверхности в точке Р0, соответствующее приращениям ∆x, ∆y абсциссы и ординаты. KL=ML–MK=ML–M0P0=ML–z0.(*) Из уравнения касательной плоскости ML=z0+dz. Отсюда dz=ML–z0. (**)

Из соотношений (*) и (**) следует, что KL=dz.

Следовательно, дифференциал функции в точке M0(x0,y0) численно равен приращению КL аппликаты точки Р0 на касательной плоскости, соответствующему приращению аргументов ∆x и ∆y.

§5. Дифференцирование сложной функции

1. Дифференцирование сложной функции

Пусть функция z=f(x;y) определена в области GÌ, а х и у сами являются функциями от переменной t: х=φ(t), у=ψ(t). Пусть t изменяется в промежутке  так, что (х;у)=(φ(t);ψ(t))ÎG. В этом случае функция

z=f(φ(t);ψ(t))=F(t)  (1)

является сложной функцией одной переменной t.

Теорема 1. Если  существуют производные ,  в точке t и существуют непрерывные частные производные ,  в соответствующей точке (х;у)=(φ(t);ψ(t)), то существует производная  от сложной функции (1), и она может быть вычислена по формуле:

.  (2)

Доказательство.

  Придадим переменной t приращение   тогда x и y получат соответствующие приращения и , а функция z=f(x;у) получит приращение . Так как z=f(x;у) в точке (x;y) имеет непрерывные частные производные, то по теореме 3 §4 она дифференцируема в этой точке. Следовательно, ее полное приращение может быть записано в следующем виде:

=, где ,.

Разделим равенство на :

.  (3)

Пусть . Так как функции х=φ(t) и у=ψ(t) дифференцируемы в точке t, то они непрерывны в этой точке. Тогда  при . Значит, и ,  при . Т.к. функции x и у по условию имеют производные  и  в точке t, то

, .

Это означает, что правая часть (3) имеет предел при :

.

Тогда существует предел и левой части (3) при : .

Переходя в (3) к пределу при , получим (2).

Частный случай: , то есть . Тогда

.

Пример 1. z(x,y)=, x=e, y=ln(1-t). Найти .

D z определена на , . z является функцией от t:

(*)  z(t)=, .

Вычислим   по формуле (2).

.

Но  можно найти и непосредственно из (*). D

Эффективность дифференцирования по формуле (2) проявляется в более сложных примерах.

Пример2. .

D .

Непосредственно отсюда вычислить  сложно.

(подставить вместо х и у выражения через t). D

Пример 3. .

D Пусть , тогда z=f(x,y), х=φ(t), у=ψ(t),

. D

Пусть теперь функция z=f(x,y) задана в некоторой области G а x и y являются функциями от переменных u и v:  . Причём u и v определены в такой области Н, что "(u,v)Н точка (х,у)=ÎG. Тогда z является сложной функцией от переменных u и v:

.  (4)

Теорема 2. Если существуют частные производные  на H и непрерывные частные производные  на области G, то существуют частные производные  от сложной функции (4) на H , которые могут быть вычислены по формулам:

(5)

. (6)

Доказательство.

  Пусть (u,v)Н. Зафиксируем v. Тогда (4) обращается в сложную функцию одной переменной u вида (1), к которой можно применить теорему 1. На основании этой теоремы

.

Аналогично, фиксируя u, получим сложную функцию одной переменной v:   к которой можно применить теорему 1, получим (6).

Пример 4. Найти частные производные сложной функции .

D Обозначим  - промежуточные переменные, x,y,z – независимые переменные.

,

,

. D

2. Инвариантность формы дифференциала

  I. Пусть z=f(x,y), где x, y – независимые переменные, определена в области G. Пусть на G функция f имеет непрерывные частные производные. Тогда она дифференцируема и её дифференциал

, (1)

где , т.е. dx, dy – произвольные числа не зависящие от x и y.

 II. Пусть теперь z является сложной функцией от переменных u и v, т.е. z=f(x,y), , . Независимые переменные u и v определены в области Н так, что . Тогда . Пусть на Н существуют непрерывные частные производные  и на G - непрерывные частные производные  и  тогда существуют непрерывные частные производные  и  от сложной функции z=h(u,v):

,  (2)

. (3)

Тогда сложная функция z=h(u,v) дифференцируема и её дифференциал

,  (4)

du, dv – произвольные числа.

Подставляя (2) и (3) в (4), получим

.

Итак, , (5)

dx – дифференциал функции , ,

dy - дифференциал функции , .

 Сравнив (1) и (5), можем сделать вывод. Дифференциал функции f имеет одну и ту же форму относительно x и y: , как в случае, когда x и y - независимые переменные, так и в случае, когда x и y – функции от других переменных. Это свойство называется инвариантностью формы полного дифференциала. Хотя форма (1) инвариантна (т.е. неизменна), но смысл символов dx и dy не один и тот же. Если x и y - независимые переменные, то dx и dy – числа, не зависящие от x, y. Если же x и y – функции, то dx и dy – дифференциалы этих функций.

 Итак, так как форма (1) инвариантна, то полный дифференциал функции всегда может быть записан в виде (1).

 Замечание. Если x и y – независимые переменные, то существуют две формы записи дифференциала: . Если x и y функции, то .

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на интервале Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается f(x)dx, где - знак интеграла, f(x) - подинтегральная функция, f(x)dx - подинтегральное выражение. Таким образом f(x)dx = F(x) + C, F(x) - некоторая первообразная для f(x), С - произвольная постоянная. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции
Уравнения математической физики