Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Курс практики по математике Криволинейные интегралы Векторный анализ Поверхностные интегралы Числовые  ряды Вычисление двойного интеграла Тройной интеграл Производная по направлению Экстремум функции

Курс практики по математике Примеры решения задач

Физические приложения двойного интеграла

I. Вычисление массы плоской фигуры

Пусть на плоской фигуре Р распределена масса m. Поверхностной плотностью массы в точке N фигуры Р называется предел

,

где D – произвольный участок фигуры Р содержащий точку N, его площадь также обозначим D, m(D) – его масса. Условие D®N означает, что участок D стягивается к точке N, то есть наибольшее расстояние от точки N до точек участка D стремится к нулю.

Если плотность распределена равномерно по фигуре, то r(х;у)=const .

Задача. Вычислить массу плоской фигуры Р, по которой непрерывным образом распределена масса m с поверхностной плотностью r(х;у), при этом r(х;у)- непрерывная функция.

Разобьём фигуру сетью кривых на n произвольных частей: Р1,Р2,…,Pn, площади которых тоже обозначим Р1,Р2,…,Pn, а m1,m2,…,mn - их массы. В каждой части Pi возьмем произвольно точку Ni(ui;vi) и вычислим в ней плотность r(ui;vi). Если разбиение достаточно мелко, то в силу непрерывности функция r(х;у) мало изменяется в области Pi. Следовательно, можно считать, что . Тогда .

Равенство тем точнее, чем мельче разбиение, и становится точным в пределе при где, li=diamPi.

Так как r(х;у)-непрерывная функция, то предел справа существует и равен . Следовательно,

m=.

II. Вычисление статических моментов и центра тяжести плоской фигуры

Статический момент М материальной точки массы m относительно некоторой оси равен произведению массы этой точки на расстояние d от точки до оси: M=m×d. При этом расстояние d берется со знаком «+» или «-» в зависимости от того, с какой стороны от оси находится точка.

Статический момент M системы n материальных точек m1, m2,…mn, лежащих в одной плоскости с осью на расстояниях d1,…dn соответственно равен .

Центр тяжести системы материальных точек на плоскости – это такая точка, что если в ней сосредоточить массы всех точек системы, то её статический момент относительно любой оси будет равен статическому моменту всей системы точек относительно той же оси.

Рассмотрим плоскую фигуру Р и предположим, что по ней распределена масса с поверхностной плотностью r=r(х;у) в любой точке М(х;у)ÎР. Разобьём Р на n произвольных частей Р1,Р2,…,Pn и в каждой Pi выберем произвольно точку Ni(ui;vi). Будем считать, что масса i-й части , и что она сосредоточена в точке Ni(ui;vi). Тогда статические моменты  и  всей фигуры P относительно Ox и Oy:

.

Равенства тем точнее, чем мельче разбиение, следовательно,

.

В правых частях - интегральные суммы для функций : yr(х;у) и xr(х;у), которые являются непрерывными. Следовательно, пределы интегральных сумм существуют и равны соответственно интегралам от этих функций. Значит,

.

Обозначим (хс;ус) - координаты центра тяжести фигуры Р. Пусть m – ее масса. Тогда по определению центра тяжести: , . Отсюда

.

Если фигура однородная (то есть r(х;у)=const), то учитывая, что , получим

.

Пример. Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной синусоидой y=sinx, осью Ox и прямой .

D Так как плоская фигура однородна, то используем последние формулы. Найдём площадь фигуры Р:

,

, , ,

. D

Между множеством вещественных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой - определенное вещественное число. Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству а ? x ? в, называется отрезком (или сегментом), обозначается [a, в], если элементы Х удовлетворяют неравенству а
Уравнения математической физики