Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Курс практики по математике Криволинейные интегралы Векторный анализ Поверхностные интегралы Числовые  ряды Вычисление двойного интеграла Тройной интеграл Производная по направлению Экстремум функции

Курс практики по математике Примеры решения задач

Двойной интеграл в полярных координатах

Если преобразование стоит в переходе к полярным координатам, то формула (6) примет вид:

.

Переход к полярным координатам эффективен, если уравнение границы области интегрирования или подынтегральная функция содержит выражение x2+y2.

Если в состав подынтегральной функции или уравнения границы области входит сумма вида ax2+by2 (a>0, b>0), то используют «обобщённую» полярную систему координат:

,

тогда , а .

Пример 1. Вычислить , где D- часть круга x2+y2=R2, лежащая в I четверти.

D Перейдём к полярным координатам

Область . Следовательно,

. D

Пример 2. Найти площадь фигуры Р, ограниченной параболами y=ax2, y=bx2 (0<a<b) и гиперболами xy=p, xy=q (0<p<q).

D Площадь фигуры , но непосредственно вычислить этот интеграл трудно. Поэтому следует выполнить замену переменных.

Рассмотрим 2 семейства кривых: парабол y=ux2 (или ) и гипербол xy=v. Чтобы каждое из них заполняло фигуру Р, достаточно взять какие u, v, которые удовлетворяют неравенствам a£u£b, p£v£q. Через каждую точку фигуры Р проходит только одна парабола и только одна гипербола. Следовательно, эти два семейства кривых образуют сетку координатных линий.

Так как задание этих двух кривых (то есть параметров u и v) однозначно определяет точку фигуры Р, то u и v можно принять за криволинейные координаты точек фигуры Р:  (*)

Область Р перейдет в прямоугольник Q: a£u£b, p£v£q на плоскости uOv, т.к.

,

.

Выразим из уравнений (*) x и y и найдем якобиан.

 Û Û  Û

 

Тогда по формуле (5)

. D

Между множеством вещественных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой - определенное вещественное число. Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству а ? x ? в, называется отрезком (или сегментом), обозначается [a, в], если элементы Х удовлетворяют неравенству а
Уравнения математической физики