Начертательная
Математика
Лабораторные
Электротехника
Конструирование
Примеры
Физика
Электрические сети

Инженерная графика

Курсовая
ТОЭ
Энергетика
Черчение
Практика
Расчеты
На главную

Курс практики по математике Примеры решения задач

Двойной интеграл в полярных координатах

Если преобразование стоит в переходе к полярным координатам, то формула (6) примет вид:

.

Переход к полярным координатам эффективен, если уравнение границы области интегрирования или подынтегральная функция содержит выражение x2+y2.

Если в состав подынтегральной функции или уравнения границы области входит сумма вида ax2+by2 (a>0, b>0), то используют «обобщённую» полярную систему координат:

,

тогда , а .

Пример 1. Вычислить , где D- часть круга x2+y2=R2, лежащая в I четверти.

D Перейдём к полярным координатам

Область . Следовательно,

. D

Пример 2. Найти площадь фигуры Р, ограниченной параболами y=ax2, y=bx2 (0<a<b) и гиперболами xy=p, xy=q (0<p<q).

D Площадь фигуры , но непосредственно вычислить этот интеграл трудно. Поэтому следует выполнить замену переменных.

Рассмотрим 2 семейства кривых: парабол y=ux2 (или ) и гипербол xy=v. Чтобы каждое из них заполняло фигуру Р, достаточно взять какие u, v, которые удовлетворяют неравенствам a£u£b, p£v£q. Через каждую точку фигуры Р проходит только одна парабола и только одна гипербола. Следовательно, эти два семейства кривых образуют сетку координатных линий.

Так как задание этих двух кривых (то есть параметров u и v) однозначно определяет точку фигуры Р, то u и v можно принять за криволинейные координаты точек фигуры Р:  (*)

Область Р перейдет в прямоугольник Q: a£u£b, p£v£q на плоскости uOv, т.к.

,

.

Выразим из уравнений (*) x и y и найдем якобиан.

 Û Û  Û

 

Тогда по формуле (5)

. D

Между множеством вещественных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой - определенное вещественное число. Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству а ? x ? в, называется отрезком (или сегментом), обозначается [a, в], если элементы Х удовлетворяют неравенству а

Теплоэнергетика

Физика