Начертательная
Математика
Лабораторные
Электротехника
Конструирование
Примеры
Физика
Электрические сети

Инженерная графика

Курсовая
ТОЭ
Энергетика
Черчение
Практика
Расчеты
На главную

Курс практики по математике Примеры решения задач

Замена переменных в двойном интеграле

1. Отображение плоских областей

Рассмотрим 2 замкнутые области: G на плоскости UOV и D на плоскости XOY (каждая из этих областей может быть и не ограничена, в частности, может охватить всю плоскость). Пусть система функций

 (1)

отображает взаимно однозначно область G на область D. Так как отображение взаимно однозначно, то функции (1) определяют систему функций

которые отображают область D на область G.

Возьмём точку P0(u0;v0)ÎG. Проведём прямые u=u0 и v=v0. Система (1) отобразит Р0 в точку M0(x0;y0)D. Очевидно, прямая u=u0 отобразится на некоторую кривую в плоскости XOY. Из (1) получим уравнение образа прямой u=u0:

Эти формулы задают параметрические уравнения кривой. (Уравнение u(x;y)=u0 - неявное уравнение той же кривой). Эта кривая называется кривой u=const. Придавая  различные значения, будем получать различные линии u=const. Следовательно: u=const –семейство линий. Так как различные линии u=u0 не пересекаются, то различные линии из семейства u=const тоже не пересекаются (так как отображение G на D взаимно однозначно).

Аналогично, образом прямой линии v=v0 является кривая линия, уравнения которой

(неявное уравнение - v(x;y)=v0). Эта линия называется v=const. Различные линии из семейства кривых v=const не пересекаются. Так как прямые u=u0 и v=v0 пересекаются в единственной точке P0(u0;v0), а (1) – взаимно однозначное отображение G на D, то кривые u(x;y)=u0 и v(x;y)=v0 в плоскости XOY также пересекается в единственной точке M0(x0;y0). Это означает, что числа u0 и v0 однозначно определяют точку M0(x0;y0) на плоскости XOY. Значит, эти числа могут служить координатами этой точки. Числа u0 и v0 называются криволинейными координатами точки M0 (так как координатные линии u=u0 и v=v0 на плоскости XOY являются кривыми линиями). Т.о., сетке декартовых координатных линий в плоскости UOV (два семейства перпендикулярных прямых) в плоскости XOY будет соответствовать сетка криволинейных линий, состоящая из двух семейств: u=const и v=const. Через любую точку M(x;y) пройдёт только одна координатная линия u=const и только одна координатная линия v=const.

u,v - криволинейные координаты точки М.

Тогда точка  имеет прямоугольные координаты (x;y) и криволинейные координаты (u;v).

Примером криволинейных координат являются полярные координаты . Полярные координаты  связаны с декартовыми известными соотношениями:

 (2), .

Будем рассматривать переменные r и j не как полярные координаты точки в плоскости XOY, а как прямоугольные координаты в другой плоскости rOj. Тогда формулы (2) отображают область  плоскости rOj на всю плоскость XOY. Правда, это отображение не является взаимно однозначным (любой точке  плоскости   в плоскости XOY соответствует одна и та же точка (0;0)). Если взять область  то (2) - взаимно однозначное отображение области  на плоскость XOY с проколотым началом координат.

Как выглядят семейства линий r=const и j=const ?

r=const:  Если  то это семейство концентрических окружностей с центром в точке (0;0);

2p

 
j=const:  - лучи, исходящие из точки (0; 0).

Геометрический смысл связи полярных и декартовых

координат.

Совместим декартову и полярную системы координат: полюс полярной системы - в точке (0;0), полярная ось – ось Ox. Тогда из DОАМ следует

2. Площадь в криволинейных координатах

Пусть система (1)  взаимно однозначно отображает замкнутую область G плоскости UOV на замкнутую область D плоскости XOY. Предположим, что функции j и y непрерывны вместе со своими частными производными на G. Предположим, что G и D квадрируемы.

Задача. Выразить площадь области D с помощью криволинейных координат u, v.

Разобьем область G на частичные области прямыми, параллельными осям Ou и Ov. Тогда область D разобьётся в силу преобразования (1) на криволинейные четырёхугольники. Рассмотрим внутренний элементарный прямоугольник  в плоскости UOV с вершинами в точках

 (Du,Dv>0).

Ему соответствует элементарный криволинейный четырёхугольник   в плоскости XOY с вершинами

 .

Найдём его площадь .

Если Du и Dv достаточно малы, то дуги  тоже малы, следовательно, их приблизительно можно считать прямолинейными. Кроме того, приращения функций x(u;v), y(u;v) приблизительно заменим их дифференциалами. Тогда 

 .

Аналогично,

 ,

, .

А также

,

,

.

Тогда приблизительно координаты вершин четырёхугольника ABCD:

,

, .

(Здесь для краткости: x(u;v)=x, y(u;v)=y, все производные вычислены в т. (u;v)).

Из координат видим, что проекции отрезков AB и CD на обе оси координат соответственно равны, следовательно, AB║CD. То же можно сказать и об отрезках AD и BC: AD║BC. Значит, приближенно ABCD – параллелограмм.

.

Из геометрии известно, что , где :

, где .

По этой формуле получим:

.

Обозначим .

Этот определитель называется якобианом. Следовательно,

. (3)

Выражение в правой части называется элементом площади в криволинейных координатах.

Учитывая, что , из формулы (3) получим .

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше . Следовательно, если Du®0 и Dv®0, то .

Величина |I(u;v)| показывает, во сколько раз увеличивается или уменьшается элемент площади в окрестности точки (u;v) плоскости UOV при отображении её в окрестность соответствующей точки (x;y) плоскости XOY. Другими словами, абсолютная величина якобиана – это коэффициент растяжения области G в данной точке (u;v) при её отображении на область D.

Просуммировав теперь площади всех элементарных четырехугольников, из (3) получим

. (4)

Это равенство тем точнее, чем мельче разбиение области G (а, следовательно, и области D). Переходя к пределу при  и , получим точное равенство. Сумма в правой части равенства (4) является интегральной суммой для двойного интеграла , из которой выброшены слагаемые, отвечающие участкам, не являющимся прямоугольниками. Но сумма площадей этих участков становится сколь угодно малой, если разбиение делать более мелким. Следовательно, переход к пределу в (4) даёт точную формулу

. (5)

Вычислим якобиан при переходе к полярным координатам:

.

Следовательно, площадь D при переходе к полярным координатам равна:

.

Замена переменной в двойном интеграле

Теорема. Пусть дан двойной интеграл , где функция f(x;y) непрерывна в замкнутой квадрируемой области D. Пусть система

(1)

задаёт взаимно однозначное отображение замкнутой квадрируемой области G плоскости UOV на замкнутую квадрируемую область D плоскости XOY. Предположим, что функции j и y непрерывны вместе со своими частными производными на G. Пусть так же |I(u;v)|¹0 на D. Тогда справедлива формула замены переменных

. (6)

Доказательство.

 Так как функции f, j, y и частные производные функций j и y непрерывны, то существуют оба интеграла в формуле (6). Необходимо доказать это равенство.

По определению двойного интеграла

, (7)

( - диаметр разбиения), причём этот предел не зависит от способа разбиения области D на частичные области Dk и от выбора точек (xk;yk)Î Dk. Обозначим .

Разобьём область G на частичные области . Так как (1) взаимно однозначно отображает G на D, то область D разобьётся на частичные области . По формуле (5) площадь области Dk равна:

.

По теореме о среднем значении двойного интеграла на каждой частичной области  найдется точка (uk;vk), такая, что

.

Обозначим образ т. (uk;vk) при взаимно однозначном отображении (1) через (xk;yk), то есть

Тогда сумма s в правой части равенства (7) равна

. (8)

Эта сумма является интегральной суммой для функции .

Если диаметры  всех частичных областей Gk стремятся к нулю, то в силу непрерывности функций j и y диаметры  частичных областей Dk тоже стремятся к нулю. Обозначим , . Если , то и . Переходя в (8) к пределу при , получим (6).  

Замечание. Формула (6) справедлива и в том случае, если взаимно однозначное отображение (1) нарушается в отдельных точках или на отдельных кривых площади нуль.

Между множеством вещественных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой - определенное вещественное число. Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству а ? x ? в, называется отрезком (или сегментом), обозначается [a, в], если элементы Х удовлетворяют неравенству а

Теплоэнергетика

Физика