Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Курс практики по математике Криволинейные интегралы Векторный анализ Поверхностные интегралы Числовые  ряды Вычисление двойного интеграла Тройной интеграл Производная по направлению Экстремум функции

Курс практики по математике Примеры решения задач

Замена переменных в двойном интеграле

1. Отображение плоских областей

Рассмотрим 2 замкнутые области: G на плоскости UOV и D на плоскости XOY (каждая из этих областей может быть и не ограничена, в частности, может охватить всю плоскость). Пусть система функций

 (1)

отображает взаимно однозначно область G на область D. Так как отображение взаимно однозначно, то функции (1) определяют систему функций

которые отображают область D на область G.

Возьмём точку P0(u0;v0)ÎG. Проведём прямые u=u0 и v=v0. Система (1) отобразит Р0 в точку M0(x0;y0)D. Очевидно, прямая u=u0 отобразится на некоторую кривую в плоскости XOY. Из (1) получим уравнение образа прямой u=u0:

Эти формулы задают параметрические уравнения кривой. (Уравнение u(x;y)=u0 - неявное уравнение той же кривой). Эта кривая называется кривой u=const. Придавая  различные значения, будем получать различные линии u=const. Следовательно: u=const –семейство линий. Так как различные линии u=u0 не пересекаются, то различные линии из семейства u=const тоже не пересекаются (так как отображение G на D взаимно однозначно).

Аналогично, образом прямой линии v=v0 является кривая линия, уравнения которой

(неявное уравнение - v(x;y)=v0). Эта линия называется v=const. Различные линии из семейства кривых v=const не пересекаются. Так как прямые u=u0 и v=v0 пересекаются в единственной точке P0(u0;v0), а (1) – взаимно однозначное отображение G на D, то кривые u(x;y)=u0 и v(x;y)=v0 в плоскости XOY также пересекается в единственной точке M0(x0;y0). Это означает, что числа u0 и v0 однозначно определяют точку M0(x0;y0) на плоскости XOY. Значит, эти числа могут служить координатами этой точки. Числа u0 и v0 называются криволинейными координатами точки M0 (так как координатные линии u=u0 и v=v0 на плоскости XOY являются кривыми линиями). Т.о., сетке декартовых координатных линий в плоскости UOV (два семейства перпендикулярных прямых) в плоскости XOY будет соответствовать сетка криволинейных линий, состоящая из двух семейств: u=const и v=const. Через любую точку M(x;y) пройдёт только одна координатная линия u=const и только одна координатная линия v=const.

u,v - криволинейные координаты точки М.

Тогда точка  имеет прямоугольные координаты (x;y) и криволинейные координаты (u;v).

Примером криволинейных координат являются полярные координаты . Полярные координаты  связаны с декартовыми известными соотношениями:

 (2), .

Будем рассматривать переменные r и j не как полярные координаты точки в плоскости XOY, а как прямоугольные координаты в другой плоскости rOj. Тогда формулы (2) отображают область  плоскости rOj на всю плоскость XOY. Правда, это отображение не является взаимно однозначным (любой точке  плоскости   в плоскости XOY соответствует одна и та же точка (0;0)). Если взять область  то (2) - взаимно однозначное отображение области  на плоскость XOY с проколотым началом координат.

Как выглядят семейства линий r=const и j=const ?

r=const:  Если  то это семейство концентрических окружностей с центром в точке (0;0);

2p

 
j=const:  - лучи, исходящие из точки (0; 0).

Геометрический смысл связи полярных и декартовых

координат.

Совместим декартову и полярную системы координат: полюс полярной системы - в точке (0;0), полярная ось – ось Ox. Тогда из DОАМ следует

2. Площадь в криволинейных координатах

Пусть система (1)  взаимно однозначно отображает замкнутую область G плоскости UOV на замкнутую область D плоскости XOY. Предположим, что функции j и y непрерывны вместе со своими частными производными на G. Предположим, что G и D квадрируемы.

Задача. Выразить площадь области D с помощью криволинейных координат u, v.

Разобьем область G на частичные области прямыми, параллельными осям Ou и Ov. Тогда область D разобьётся в силу преобразования (1) на криволинейные четырёхугольники. Рассмотрим внутренний элементарный прямоугольник  в плоскости UOV с вершинами в точках

 (Du,Dv>0).

Ему соответствует элементарный криволинейный четырёхугольник   в плоскости XOY с вершинами

 .

Найдём его площадь .

Если Du и Dv достаточно малы, то дуги  тоже малы, следовательно, их приблизительно можно считать прямолинейными. Кроме того, приращения функций x(u;v), y(u;v) приблизительно заменим их дифференциалами. Тогда 

 .

Аналогично,

 ,

, .

А также

,

,

.

Тогда приблизительно координаты вершин четырёхугольника ABCD:

,

, .

(Здесь для краткости: x(u;v)=x, y(u;v)=y, все производные вычислены в т. (u;v)).

Из координат видим, что проекции отрезков AB и CD на обе оси координат соответственно равны, следовательно, AB║CD. То же можно сказать и об отрезках AD и BC: AD║BC. Значит, приближенно ABCD – параллелограмм.

.

Из геометрии известно, что , где :

, где .

По этой формуле получим:

.

Обозначим .

Этот определитель называется якобианом. Следовательно,

. (3)

Выражение в правой части называется элементом площади в криволинейных координатах.

Учитывая, что , из формулы (3) получим .

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше . Следовательно, если Du®0 и Dv®0, то .

Величина |I(u;v)| показывает, во сколько раз увеличивается или уменьшается элемент площади в окрестности точки (u;v) плоскости UOV при отображении её в окрестность соответствующей точки (x;y) плоскости XOY. Другими словами, абсолютная величина якобиана – это коэффициент растяжения области G в данной точке (u;v) при её отображении на область D.

Просуммировав теперь площади всех элементарных четырехугольников, из (3) получим

. (4)

Это равенство тем точнее, чем мельче разбиение области G (а, следовательно, и области D). Переходя к пределу при  и , получим точное равенство. Сумма в правой части равенства (4) является интегральной суммой для двойного интеграла , из которой выброшены слагаемые, отвечающие участкам, не являющимся прямоугольниками. Но сумма площадей этих участков становится сколь угодно малой, если разбиение делать более мелким. Следовательно, переход к пределу в (4) даёт точную формулу

. (5)

Вычислим якобиан при переходе к полярным координатам:

.

Следовательно, площадь D при переходе к полярным координатам равна:

.

Замена переменной в двойном интеграле

Теорема. Пусть дан двойной интеграл , где функция f(x;y) непрерывна в замкнутой квадрируемой области D. Пусть система

(1)

задаёт взаимно однозначное отображение замкнутой квадрируемой области G плоскости UOV на замкнутую квадрируемую область D плоскости XOY. Предположим, что функции j и y непрерывны вместе со своими частными производными на G. Пусть так же |I(u;v)|¹0 на D. Тогда справедлива формула замены переменных

. (6)

Доказательство.

 Так как функции f, j, y и частные производные функций j и y непрерывны, то существуют оба интеграла в формуле (6). Необходимо доказать это равенство.

По определению двойного интеграла

, (7)

( - диаметр разбиения), причём этот предел не зависит от способа разбиения области D на частичные области Dk и от выбора точек (xk;yk)Î Dk. Обозначим .

Разобьём область G на частичные области . Так как (1) взаимно однозначно отображает G на D, то область D разобьётся на частичные области . По формуле (5) площадь области Dk равна:

.

По теореме о среднем значении двойного интеграла на каждой частичной области  найдется точка (uk;vk), такая, что

.

Обозначим образ т. (uk;vk) при взаимно однозначном отображении (1) через (xk;yk), то есть

Тогда сумма s в правой части равенства (7) равна

. (8)

Эта сумма является интегральной суммой для функции .

Если диаметры  всех частичных областей Gk стремятся к нулю, то в силу непрерывности функций j и y диаметры  частичных областей Dk тоже стремятся к нулю. Обозначим , . Если , то и . Переходя в (8) к пределу при , получим (6).  

Замечание. Формула (6) справедлива и в том случае, если взаимно однозначное отображение (1) нарушается в отдельных точках или на отдельных кривых площади нуль.

Между множеством вещественных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой - определенное вещественное число. Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству а ? x ? в, называется отрезком (или сегментом), обозначается [a, в], если элементы Х удовлетворяют неравенству а
Уравнения математической физики