Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Курс практики по математике Криволинейные интегралы Векторный анализ Поверхностные интегралы Числовые  ряды Вычисление двойного интеграла Тройной интеграл Производная по направлению Экстремум функции

Курс практики по математике Примеры решения задач

Вычисление двойного интеграла

 Теорема 4. Если функция f(x;y) непрерывна на прямоугольнике Р=[a,b;c,d], то справедлива формула

.

Доказательство.

 Существование двойного интеграла и повторных интегралов доказано в предыдущих теоремах. Докажем равенство

.

Отрезки [a;b] и [c;d] разобьём произвольными точками ,  на частичные отрезки. Через точки деления проведём прямые параллельные осям координат. Этими прямыми прямоугольник Р разобьётся на частичные прямоугольники , , . В силу условия функция f(x;y) непрерывна на замкнутом прямоугольнике , поэтому на этом прямоугольнике она имеет наименьшее  и наибольшее  значения. "(х;у)Î . Зафиксируем произвольно точку . Ясно, что  "уÎ[yk-1;yk]. Интегрируя это неравенство на отрезке [yk-1;yk], получим

, (8)

где Dyk=yk - yk-1. Таких неравенств будет m штук. Суммируя неравенства (8) по k от 1 до m, получим

.

По свойству аддитивности определенного интеграла

.

Обозначим . Тогда

.

Умножим все части этого равенства на Dxi=xi – xi-1. Суммируя их по i от 1 до n, получим

. (9)

Средняя часть неравенства (9) представляет собой интегральную сумму для функции F(х) на [a;b]. Крайние части (9) представляют собой нижнюю и верхние суммы Дарбу для функции f(x;y) на Р. Действительно,

.

Аналогично, .

Поэтому из (9) получаем

. (10)

Так как функция f(x;y) непрерывна на Р, то она интегрируема на этом прямоугольнике, следовательно,

.

Но тогда из (10) следует, что

. (11)

С другой стороны, по теореме 1

. (12)

Из (11) и (12) следует .

 Равенство  доказывается аналогично.  

Пример. Вычислить , где Р прямоугольник [0,1;0,1].

D . D

 Теорема 5. Если функция f(x;y) непрерывна на простой области I типа, то справедлива формула

. (13)

Доказательство.

 Так как j1(x) и j2(x) непрерывны на [a;b], то они на этом отрезке имеют наименьшее и наибольшее значения. Обозначим их , . Пусть D=[a,b;c,d], PÌD.Рассмотрим функцию F(x;y) на D:

По условию f непрерывна на замкнутой квадрируемой области Р, следовательно, она интегрируема на Р. Т.к. F(x;y)=f(x;y), то и F(x;y) интегрируема на Р и

.

С другой стороны, т.к. на Р1 и Р2 F(x;y)=0, то F(x;y) интегрируема и на Р1, Р2 и

(все интегральные суммы равны нулю, а значения на границе можно не учитывать).

Тогда по свойству аддитивности двойного интеграла F(x;y) интегрируема на

 и

. (14)

Теперь наша задача свелась к вычислению  - двойного интеграла по прямоугольной области.

" фиксированного хÎ[a;b]

,

так как существует каждый из трёх интегралов справа:

, а .

Тогда "хÎ[a;b]

. (15)

Так как f(x;y) непрерывна на Р, то по теореме 2  непрерывна на [a;b]. Тогда из (15) следует, что  непрерывна на [a;b], значит, F(х) интегрируема на [a;b], т.е. существует повторный интеграл (случай I)

. (16)

Теперь из (14) и (16), учитывая (15), получаем

.

 Теорема 6. Если функция f(x;y) непрерывна на простой области II типа, то справедлива формула

. (17)

 Замечание 1. Если контур области интегрирования пересекается не более, чем в двух точках, как параллелями оси Ох, так и параллелями оси Оу, то имеют место обе формулы (13) и (17), и, значит, повторные интегралы (6) и (7) равны.

 Замечание 2. Если область Р не является простой областью I или II типа, то её разбивают (если возможно) на конечное число простых областей I и II типа. Тогда двойной интеграл по области Р равен сумме интегралов по простым областям.

 Замечание 3. Формулы (13) и (17) справедливы и в том случае, когда f имеет разрывы в конечном числе точек и на кривых, площадь которых равна нулю.

Пример. Р ограничена: y=x3, y+x=2, x=0. Вычислить .

D Найдём координаты точки А:

x3=2-x, x3+x-2=0, x=1.

=

. D

Пример 2. Р ограничена: y2=3x+9, y=3–x. Свести  к повторным двумя способами.

D Найдём точки пересечения графиков функций:

(3-x)2=3x+9, 9-6x+x2-3x-9=0,

x2-9x=0,  x(x-9)=0, x=0, x=9,

y=3, y=-6.

Выразим из первого уравнения х: 3x+9=y2-9,

.

. D

Между множеством вещественных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой - определенное вещественное число. Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству а ? x ? в, называется отрезком (или сегментом), обозначается [a, в], если элементы Х удовлетворяют неравенству а
Уравнения математической физики