Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Курс практики по математике Криволинейные интегралы Векторный анализ Поверхностные интегралы Числовые  ряды Вычисление двойного интеграла Тройной интеграл Производная по направлению Экстремум функции

Курс практики по математике Примеры решения задач

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода.

1) Кривая L задана через произвольный параметр t : x =(t), y = (t), z = (t), t1tt2 . Тогда, dx = `dt , dy = `dt , dz = `dt  и имеем для плоской кривой

 f(x,y) dx =  f((t),(t))`(t) dt ( 8 )

или в общем случае Pdx + Qdy + Rdz =

=[P((t),(t),(t))(t)` + Q((t),(t),(t))`(t) + R((t),(t),(t))(t)`]dt

2) Плоская кривая L задана явным уравнением : y = y(x) на [a,b] . Тогда

 f(x,y) dx = f(x, y(x)) dx ( 9 ) 

т.е. в f(x,y) переменную у заменяем на уравнение кривой y(x) и получаем стандартный определенный интеграл.

 

Пр.2 J =y2dx + x2dy , где L – верхняя половина эллипса: x = a cos t , y = b sin t , проходимая по часовой стрелке.

Решение: dx = -a sin t dt , dy = b cos t dt , J =[b2sin2t (-a sin t) + a2cos2t b cost] dt = = ab [b sin3t – a cos3t] dt = 4/3 ab2

Пр.3 J = (x2 – y2)dx + xy dy , где L :

а) прямая от точки  А(1;1) до B(2;4) ;

б) дуга параболы y = x2 от А до В ;

 в) ломаная АСВ , где С(2;1).

Решение а): уравнение прямой АВ : (x – 1) / ( 2 – 1)  = (y – 1) / (4 – 1) Þ y = 3x – 2 ,

dy = 3 dx, J =[x2– (3x – 2)2+ 3x(3x – 2)] dx =(x2 + 6x – 4) dx = x3/3 +3x2 –4x|12 = 8/3.

Решение б):парабола y = x2, dy = 2x dx, J =[x2–x4+2x4] dx =(x3/3 + x5/5)|12 = - 8/15

Решение в): ломаная АСВ = АС + СВ

Прямая АС : у = 1, dy = 0 , J = (x2 – 12) dx = (x3/3 – x ) |12 = 4/3 .

Прямая СВ : x = 2, dx = 0 , J =2y dy = y2 |14 = 15 . J = 15 + 4/3 .

Понятие определенного интеграла. Обозначим длину наибольшего из отрезков разбиения через max ?хi, где i=1,2,…п Определение. Пусть предел интегральной суммы ? f(Ci)?xi при стремлении max ?хi к нулю существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [a, в] на части и от выбора точек С1, С2, …, Сп. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у = f(х) на [а, в]
Уравнения математической физики