Начертательная
Математика
Лабораторные
Электротехника
Конструирование
Примеры
Физика
Электрические сети

Инженерная графика

Курсовая
ТОЭ
Энергетика
Черчение
Практика
Расчеты
На главную

Курс практики по математике Примеры решения задач

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода.

1) Кривая L задана через произвольный параметр t : x =(t), y = (t), z = (t), t1tt2 . Тогда, dx = `dt , dy = `dt , dz = `dt  и имеем для плоской кривой

 f(x,y) dx =  f((t),(t))`(t) dt ( 8 )

или в общем случае Pdx + Qdy + Rdz =

=[P((t),(t),(t))(t)` + Q((t),(t),(t))`(t) + R((t),(t),(t))(t)`]dt

2) Плоская кривая L задана явным уравнением : y = y(x) на [a,b] . Тогда

 f(x,y) dx = f(x, y(x)) dx ( 9 ) 

т.е. в f(x,y) переменную у заменяем на уравнение кривой y(x) и получаем стандартный определенный интеграл.

 

Пр.2 J =y2dx + x2dy , где L – верхняя половина эллипса: x = a cos t , y = b sin t , проходимая по часовой стрелке.

Решение: dx = -a sin t dt , dy = b cos t dt , J =[b2sin2t (-a sin t) + a2cos2t b cost] dt = = ab [b sin3t – a cos3t] dt = 4/3 ab2

Пр.3 J = (x2 – y2)dx + xy dy , где L :

а) прямая от точки  А(1;1) до B(2;4) ;

б) дуга параболы y = x2 от А до В ;

 в) ломаная АСВ , где С(2;1).

Решение а): уравнение прямой АВ : (x – 1) / ( 2 – 1)  = (y – 1) / (4 – 1) Þ y = 3x – 2 ,

dy = 3 dx, J =[x2– (3x – 2)2+ 3x(3x – 2)] dx =(x2 + 6x – 4) dx = x3/3 +3x2 –4x|12 = 8/3.

Решение б):парабола y = x2, dy = 2x dx, J =[x2–x4+2x4] dx =(x3/3 + x5/5)|12 = - 8/15

Решение в): ломаная АСВ = АС + СВ

Прямая АС : у = 1, dy = 0 , J = (x2 – 12) dx = (x3/3 – x ) |12 = 4/3 .

Прямая СВ : x = 2, dx = 0 , J =2y dy = y2 |14 = 15 . J = 15 + 4/3 .

Понятие определенного интеграла. Обозначим длину наибольшего из отрезков разбиения через max ?хi, где i=1,2,…п Определение. Пусть предел интегральной суммы ? f(Ci)?xi при стремлении max ?хi к нулю существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [a, в] на части и от выбора точек С1, С2, …, Сп. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у = f(х) на [а, в]

Теплоэнергетика

Архитектура ПК
Примеры задач
Физика
Лабораторные
Теория механизмов
Математика