Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Курс практики по математике Криволинейные интегралы Векторный анализ Поверхностные интегралы Числовые  ряды Вычисление двойного интеграла Тройной интеграл Производная по направлению Экстремум функции

Курс практики по математике Примеры решения задач

Пример решения расчетного задания

Задание 1. Найти общее решение уравнения u``xx - 2u``xy + u``yy + 2u`x - 2u`y = 0, приведя его к каноническому виду (Метод Даламбера).

Решение. Имеем a11 = 1, 2a12 = -2, a22 = 1 и характеристическое уравнение

a11 + 2a12 + a22 = 0 принимает вид ( - 1)2 = 0 , т.е. D = 0  параболический тип уравнения, 1 = 2 = 1.

Переход к новой системе координат: p = y  +x = y + x, вторую переменную выберем в виде q = ay + bx , где числа a, b произвольны. Обратное преобразование

y = (q -bp)/(a -b), x =(q –ap)/(b -a) и (b -a)0. Имеем p`x =1, p`y =1, q`x =b, q`y =a.

Вычислим производные

 2u`x = 2(u`pp`x + u`qq`x) = 2(u`p + bu`q)

  -2u`y = -2(u`pp`y + u`qq`y) = -2(u`p + au`q)

 u``xx = u``ppp`x + bu``qqq`x + u``pq( q`x + bp`x) = u``pp + b2u``qq + 2b u``pq

-2 u``xy = -2[u``ppp`y + bu``qqq`y + u``pq( q`y + bp`y)] = -2[u``pp + abu``qq + (b+a) u``pq ]

  u``yy = u``ppp`y + au``qqq`y + u``pq( q`y + ap`y) = u``pp + a2u``qq + 2a u``pq

сложим их и получим уравнение в новых координатах (a – b)2 uqq = 2(b – a) uq .

Пусть  b – a = 2. Решение уравнения с разделяющимися переменными u``pp = u`p. 

 ln(up) = p + f(q)  up = ep g(q)   du = g(q) ep dp

u(p,q) = g(q)  ep dp = g(q) ep + h(q)

Общее решение уравнения имеет вид u(x,y) = g(ay + bx) e(y + x) + h(ay + bx) и содержит две произвольные функции g(q) , h(q) .

Задание 2. Найти общее решение уравнения u``xx + 4u``xy + 3u``yy = 0, приведя его к каноническому виду (Метод Даламбера).

Решение. Имеем a11 = 1, 2a12 = 4, a22 = 3 и характеристическое уравнение

a11 + 2a12 + a22 = 0 принимает вид 2 + 4 + 3 = 0 , где D = 4  гиперболический тип уравнения, 1 = -1 , 2 = -3 ..

Переход к новой системе координат: p = y +1x = y - x, q = y + 2x = y – 3x .

Обратное преобразование x = ½(p –q), y = ½ (3p –q). Имеем p`x = -1, p`y =1, q`x =-3, q`y = 1

Вычислим производные

 u`x = u`pp`x + u`qq`x = -u`p - 3u`q

 u`y = u`pp`y + u`qq`y = u`p + u`q

 u``xx = -u``ppp`x - 3u``qqq`x + u``pq( -q`x - 3p`x)  = u``pp + 9u``qq + 6u``pq

 4 u``xy = 4[-u``ppp`y - 3u``qqq`y + u``pq( -q`y - 3p`y)] = 4[ -u``pp - 3u``qq - 4u``pq ]

 3 u``yy = 3[u``ppp`y + u``qqq`y  + u``pq( q`y + p`y)] = 3[ u``pp + u``qq + 2u``pq ]

сложим их и получим  уравнение в новых координатах 4u``pq = 0.

Общее решение уравнения хорошо известно u(x,y) = F1(p) + F2(q) = F1(y – x) + F2(y – 3x) и содержит две произвольные функции.

Задание 3. Решить смешанную задачу для волнового уравнения u``tt  = u``xx на отрезке 0<x<1, 0< t < при начальных условиях u(x, 0) = x(x – 1), u`t (x, 0) = 0

и граничных условиях u(0, t) = 0, u(1, t) = 0 .

Общее решение такой задачи (колебания струны) имеет вид (Метод Фурье):

u(x,t)  =  sin (p n / l) x [ Cn cos (ap n / l) t + Dn sin (ap n / l) t ]

где  Cn =  ; Dn =  

В нашем случае l = 1, а =1 и Cn==2[][(-1)n-1], Dn =0

u(x,t) =  -4[] sin p(2k-1)x cos p(2k-1)t ( n = 2k – 1)

Задание 4. Найти решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности  u`t = u``xx на отрезке 0 < x < l , t > 0 при начальных условиях u(x, 0) =  и краевых условиях u(0, t) = 0, u(1, t) = 0 .

Общее решение задачи имеет вид (Метод Фурье): 

u(x,t) = Bn  sin (p n / l) x , где Bn = 

Интеграл Bn =  +  вычислим по частям и получим Bn =   , т.е. B2k = 0 , B2k - 1 = 

u(x,t)  =   sin

Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если ее предел в этой точке совпадает со значением функции в той же точке, или lim f(x) = f(a). Все элементарные функции непрерывны в каждой точке, где они определены. 4. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций. (Кроме случая, когда знаменатель стремиться к нулю).
Уравнения математической физики