Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Курс практики по математике Криволинейные интегралы Векторный анализ Поверхностные интегралы Числовые  ряды Вычисление двойного интеграла Тройной интеграл Производная по направлению Экстремум функции

Курс практики по математике Примеры решения задач

Пример. Найти циркуляцию векторного поля = yi – x j + z k вдоль окружности x = r cos t , y = r sin t , z = 1 в положительном направлении, т.е. 0 < t < 2

Решение : Ц =  = {dx = -r sin t ; dy = r cos t ; dz = 0} =

=  = - r2 = -2r2

Отношение циркуляции к площади круга  S = r2 постоянно Ц /S = -2, даже при r.

Из этого следует, что циркуляция в самой точке начала координат равна -2 .

Соединим две точки контура L дополнительной линией, которая разделит его на два контура L1, L2 . Тогда циркуляцию вдоль L  можно представить как сумму циркуляций вдоль малых контуров при одинаковом направлении прохождения. т.к. общую границу проходим

дважды в противоположных направлениях. Т.о., циркуляция по контуру L может быть представлена как сумма циркуляций по малым контурам, полученным путем наложения сетки линий на контур L. В пределе малым участком может оказаться отдельная точка. Тогда циркуляция по контуру сведется к сумме циркуляций вокруг всех точек охваченных контуром L. Такой переход к точкам позволяет сделать формула Стокса

 =  ( 20 )

которая сводит криволинейный интеграл по контуру L на произвольной гладкой поверхности к поверхностному интегралу по область  G ограниченной контуром L.

Перейдем в (19) к поверхностному интегралу 1 рода: ЦL =

 ( 21 )

Выражение в квадратных скобках можно представить как скалярное произведение двух векторов : вектора  = { } и вектора 

rot  (R’y – Q’z) i + (P’z – R’x) j + (Q’x - P’y) k ( 22 )

который наз. ротором (вихрем) векторного поля (M) = {P, Q, R}. В результате формула Стокса принимает следующую векторную форму

 =  ( 23 )

т.е. циркуляция векторного поля вдоль контура некоторой поверхности равна потоку вихря поля через эту поверхность.

Если в ( 23 ) размер G достаточно мал и вектора rot  и  почти не меняются в пределах G, то можно применить теорему о среднем и заменить (rot) его значением в отдельной точке M*. Тогда интеграл по G даст площадь поверхности S и ( 23 ) примет вид

(rot )|M* = 1/S  или |rot | cos = 1/S  ( 24 )

т.е. ротор характеризует величину циркуляции, приходящуюся на единицу площади поверхности охваченную контуром  L. При  = 0 циркуляция max. В (24), если S0, то M*M и ротор будет характеризовать циркуляцию вокруг отдельно взятой точки.

Опр. Ротором векторного поля(M) наз. вспомогательное векторное поле rot(M), вектора которого в каждой точке М определяют ориентацию плоскости, в которой эта циркуляция максимальна, а их модули |rot(M)| дают значение этой циркуляции.

Ротор векторного поля (M) = {P, Q, R} удобно записывать в виде оператора

rot (M) = x (M) =  ( 25 )

Физический смысл формулы Остроградского-Гаусса – циркуляция по произвольному замкнутому контуру в пространстве складывается из суммы циркуляций всех точек любой поверхности натянутой на этот контур.

Простейшие векторные поля : а) Трубчатое или соленоидальное векторное поле, если div  = 0 ; б) Потенциальное или безвихревое векторное поле, если rot  = 0 ; в) Гармоническое векторное поле , если div  = 0 , rot  = 0 .

Пример 11.Вычислить циркуляцию векторного поля  ={x + y2- z; 2x2– 2y2; zxy -1} вдоль контура АВСА, если АВС – треугольник с вершинами А( 2,0,0), В(0,2,0), С(0,0,1)

Решение.

Ц L =  = 

L = AB + BC + CA

AB: z = 0 , dz = 0 , y + x = 2 , dy = - dx , 2x 0

BC: x = 0 , dx = 0 , y + 2z = 2 , dy = - 2dz , 0z 1

CA: y = 0 , dy = 0 , x + 2z = 2 , dx = - 2dz , 1z 0

JAB = = (x3/3 – 11x2/2 + 12x |20 = - 26/3

JBC = = [4/3(2 – 2z)3 – z]|01 = 13/3

JCA =  = [6z2/2 – 5z]|01 = 2

Ответ : Ц L = JAB + JBC +  JCA = - 8/3

Пример 12. Вычислить вдоль замкнутого контура L: x2 + y2 = 2x циркуляцию плоского векторного поля  = { ;

Решение. Вычислим циркуляцию по формуле Грина

Ц L =

 = ()|x` - ()y` = - 6y

D: x2 + y2 = 2x  x2 – 2x + 1 + y2 = 1 (x – 1)2 + y2 = 1 

 Окружность с центром (1;0),  R = 1.

 J = { x = r cosj, y = r sinj } - переход к полярной

 системе координат и построение полярного уравнения

 x2 + y2 = 2x r2cos2j + r2sin2j = 2r cosj r = 2 cosj

Пределы изменения угла j находим из значения r в начале координат

 r = 2 cos j = 0  j = /2 , - /2  j /2 , 

Ц L = -6. J1 =  = r3/3  = 8/3 cos3j ,

 Ц L = - 16 = 4 cos4 j  = 0

Задачи для самостоятельного решения

1) Дано векторное поле (M) = { xz; yz; xy}. Найти div, rot. Опр. тип поля.

 Записать формулы Остроградского-Гаусса и Стокса в векторной и координатной форме.

2) Найти циркуляцию векторного поля  (M) = { y;-x;z} вдоль окружности x = Rcos t,

  y = Rsin t, z = 1 , (

3) Найти дивергенцию градиента функции u = ex + y + z

4) Показать, что V = 1/3  для тела произвольной формы. 

5) Показать, что rot(grad u) = 0, т.е. вихрь градиента любого скаляра равен нулю.

6) Найти циркуляцию вектора  (M) = -yi + xj по окружности x2 + (y – 1)2 = 1 .

7)  Вычислить вдоль замкнутого контура L: x2 + y2 = 4y циркуляцию плоского векторного поля  = { ; } .

Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если ее предел в этой точке совпадает со значением функции в той же точке, или lim f(x) = f(a). Все элементарные функции непрерывны в каждой точке, где они определены. 4. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций. (Кроме случая, когда знаменатель стремиться к нулю).
Уравнения математической физики