Начертательная
Математика
Лабораторные
Электротехника
Конструирование
Примеры
Физика
Электрические сети

Инженерная графика

Курсовая
ТОЭ
Энергетика
Черчение
Практика
Расчеты
На главную

Курс практики по математике Примеры решения задач

Элементы теории поля

Площадь гладкой поверхности.

Гладкую поверхность G описывает уравнение z = f(x,y). Она имеет верхнюю, нижнюю стороны и границы. Ее проекция на плоскость хОу занимает область D, а нормальный вектор касательной плоскости к любой точке поверхности имеет вид

 ( 1 )

где  и знак вектора зависит от выбора стороны поверхности. Если выбрать , то угол - острый и сторона поверхности будет верхней.

Опр.  Площадью криволинейной поверхности наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения поверхности на малые участки и проектирования их на касательные плоскости, проведенные к каждому элементу поверхности

 ( 2 )

Для вычисления интеграла проекцию элемента поверхности на касательную плоскость еще раз проектируют на координатную плоскость xOy . Отношение площадей этих поверхностей равно косинусу угла между ними Di /Si = сos, т.е. углу между i и Oz. Если вторая проекция - прямоугольник, то его площадь

Di =xiyi . Тогда xiyi = сos  dxdy = cosdS или dS = dxdy. 

 ( 3 )

Опр. Поверхностным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y,z) по поверхности z =z(x,y) наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения поверхности на малые участки и проектирования их на касательные плоскости.

Такая интегральная сумма отличается от ( 2 ) дополнительным множителем f(Mi) перед каждым  и

 ( 4 )

Замена переменной z на z(x,y) дает переход к значениям функции на самой поверхности.

Пример 1. Вычислить J =  , где G: x + y + z = 1 , x 0, y0, z0

Решение. z = 1 – x – y, = -1, = -1,=

D: x + y = 1, x = 0, y = 0 ; Точки пересечения (0;0), (1;0), (0;1)

Выберем коридор || Оу , его ширина 0  x 1 ,

а движение по коридору от y = 0 до  y = 1 - x. 

D: 0  x 1 , 0  y 1 - x

J = xy(1 – x – y) dxdy = xy(1 – x – y)dy ,

J1 = xy(1 – x – y)dy = x(1 – x)3/6 , J = /6 x(1 – x)3 dx = /120 .

Поверхностные интегралы 2 рода.

Пусть через замкнутую поверхность проходит поток жидкости или тепла. Входящий и выходящий потоки дают взаимоисключающий результат и поэтому их надо различать. Различать их можно по знаку cos, где  - угол между нормальным вектором внешней стороны замкнутой поверхности и направляющим вектором потока. Для выходящего

потока  - острый угол и cos>0 , для входящего потока  - тупой угол и cos<0 . Для описания потоков используют специальные поверхностные интегралы, которые учитывают направление потоков через поверхность.

Опр. Поверхностным интегралом 2-ого рода для функции f(x,y,z) по двухсторонней ориентированной поверхности G наз. конечный предел интегральной суммы, полученной путем разбиения G на малые участки и проектирования их сразу на координатные плоскости

J =  =  ( 5 )

Множитель  означает, что вклады от разных участков G берутся с разными знаками.

Так как элемент поверхности dS и его проекции пропорциональны dxdy = cosdS, то от интеграла 2 рода легко перейти к интегралу 1 рода

 =  ( 6 )

в который входит cos . Знак cos  для элемента поверхности  и определит знак вклада этого элемента в интегральную сумму ( 5 ). Появление членов с разными знаками происходит только при рассмотрении цилиндрических и замкнутых поверхностей.

При проектировании G на плоскости  xOz, yOz получаем аналогичные интегралы и строим обобщенный поверхностный интеграл 2 рода с учетом трех различных функций

 =

=  ( 7 )

который распространяется на определенную заранее сторону двухсторонней поверхности.

Для гладкой поверхности z = z(x,y) у членов интегральной суммы ( 5 ) одинаковый знак и вычисление интеграла  ( 5 ) сводится к вычислению обычного двойного интеграла

 J =  =  ( 8 )

Замена z на z(x,y) дает переход к значениям функции на самой поверхности.

Пример 2. Вычислить J = , где G: x2 + y2 + z2 = R2 , z 0, внешняя сторона.

Решение. Внешняя сторона нижней полусферы

 z = -имеет  знак «-» перед J.

D: x2 + y2 R2, J = (-1)= =

= {x = r cos, y = r sin} =  = 9/420

Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если ее предел в этой точке совпадает со значением функции в той же точке, или lim f(x) = f(a). Все элементарные функции непрерывны в каждой точке, где они определены. 4. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций. (Кроме случая, когда знаменатель стремиться к нулю).

Теплоэнергетика

Архитектура ПК
Примеры задач
Физика
Лабораторные
Теория механизмов
Математика