Начертательная
Математика
Лабораторные
Электротехника
Конструирование
Примеры
Физика
Электрические сети

Инженерная графика

Курсовая
ТОЭ
Энергетика
Черчение
Практика
Расчеты
На главную

Курс практики по математике Примеры решения задач

Разложение в ряд Фурье непериодических функций.

В ряд Фурье можно разлагать не только периодические функции, но и любые ограниченные функции, определенные на конечном участке числовой оси, если вне этого участка поведение функции нас не интересует.  Если участок оси симметричен [-l, l] , то используется разложение ( 26 ), ( 27 ). Если функция f(x) задана на сегменте [0, l], то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить ее в сегменте [-l, 0] произвольным образом, а затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной в сегменте [-l, l]. Наиболее удобно доопределять функцию условием четности f(-x) = f(x) или нечетности f(-x) = -f(x). В этом случае используются разложение только по синусам или только по косинусам в формулах ( 26 ), ( 27 ).

Пр. Разложить в ряд Фурье функцию заданную в сегменте [0, 1] уравнением f(x) = x

Решение 1. Доопределим функцию f(x) на сегменте  [-1, 0] нечетным образом, т.е. f(x) = x на сегменте [-1, 1]. В этом случае приходим к рассмотренной выше задаче

f(x) = 2/[(-1)n+1 sin n x] /n Составленный криволинейный интеграл сводим к определенному интегралу, используя параметрические уравнения кривой ВС:

Решение 2. Доопределим функцию f(x) на сегменте [-1, 0] четным образом, т.е. f(x) = -x . В этом случае bn = 0 , а0 = 1/l= 2= 1 ;

an = 1/l= 2 = - (2/2 )(1 - cosn)/n2 =

= - (2/2n2 ) (1 – (-1)n) = - (2/2n2 ) {

или а2m = 0 , a2m+1 = - 4/2 (2m+1)2 , т.е. получаем разложение f(x) по нечетным гармоникам косинуса f(x) = - 4/2cos (2m+1)x / (2m+1)2

Оба решения на сегменте [0, 1] дают одинаковый численный и графический результат, а за его пределами значения функций различны.

Устные экзаменационные вопросы.

по теме: «Числовые ряды»

Что такое аппроксимация функций и для чего она нужна;

Опр. бесконечной числовой последовательности и ее предела. Общая классификация бесконечных числовых последовательностей;

Опр. бесконечного числового ряда. Возможно ли его прямое суммирование?

Как определяется сумма бесконечного числового ряда?

Опр. сходимости и расходимости числового ряда;

Геометрическая прогрессия. Вывод формулы для частичной суммы, переход к пределу

Перечислить основные свойства сходящихся числовых рядов;

Необходимый признак сходимости числового ряда. Доказать;

Признаки сравнения ; Признак Даламбера; Интегральный признак Коши. Доказать;

Опр. знакочередующегося числового ряда. Признак Лейбница;

Опр. знакопеременного числового ряда. Признак абсолютной сходимости;

Опр. абсолютно и условно сходящегося числового ряда; Пр.

Опр. функционального ряда и его области сходимости;

Опр. степенного ряда и ряда по степеням х ;

Теорема Абеля;

Опр. радиуса и интервала сходимости степенного ряда и ряда по степеням х;

Написать формулу для радиуса сходимости ряда по степеням х;

Общее правило дифференцирования и интегрирования степенных рядов;

Написать в общем виде ряд Тейлора и ряд Маклорена;

Что такое многочлен Тейлора и остаточный член ряда Тейлора;

Необходимое и достаточное условие для разложения функции в ряд Тейлора;

Написать формулу Лагранжа для остаточного члена ряда Тейлора;

Алгоритм разложения произвольной функции в ряд Тейлора;

Написать формулы разложения в ряд Тейлора для функций ex, sin x, cos x, (1+x)m, ln(1+x), arctg x;

Как используют степенные ряды для приближенного вычисления значений функций;

Как используют степенные ряды для приближенного вычисления интегралов;

Как определяется погрешность при разложении функции в степенной ряд и знакочередующийся ряд;

Как используют степенные ряды для приближенного решения диф.уравнений;

Написать тригонометрический ряд;

Опр. равномерно сходящегося и мажорирующего функциональных рядов;

Какой ряд служит мажорирующим для тригонометрического ряда ?

При каком условии тригонометрический ряд может оказаться сходящимся ?

Общее определение системы ортогональных функций;

Чему равны коэффициенты разложения любой функции по системе ортогональных функций ?

Почему тригонометрические функции {1/2, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, . . .} образуют ортогональную систему ?

Опр. ряда Фурье. Написать коэффициенты ряда;

Чем различаются тригонометрический ряд и ряд Фурье?

Условия Дирихле. Признак сходимости Дирихле;

Объяснить, почему мажорирующий ряд для ряда Фурье является сходящимся;

Свойства интеграла от четных и нечетных функций по симметричным пределам;

Написать ряд Фурье для четных и нечетных функций;

Написать ряд Фурье для функций с периодом  2l;

Перечислить правила разложения в ряд Фурье непериодических функций.

Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона - Лейбница. Понятие интегральной суммы. Пусть на отрезке [a, в] задана функция у = f(x). Разобьем отрезок на п элементарных отрезков точками деления а = х0, х1, х2, …, хп = в. На каждом элементарном отрезке [xi-1, xi] выберем произвольную точку Сi и положим ?хi = xi - xi-1, где i = 1,2,…,п, в каждой точке Сi найдем значение функции f(Ci), составим произведения f(C1)?x1, f(C2)?x2, …, f(Ci)?xi, …, f(Cn)?xn, рассмотрим сумму этих произведений:

Теплоэнергетика

Архитектура ПК
Примеры задач
Физика
Лабораторные
Теория механизмов
Математика