Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Курс практики по математике Криволинейные интегралы Векторный анализ Поверхностные интегралы Числовые  ряды Вычисление двойного интеграла Тройной интеграл Производная по направлению Экстремум функции

Курс практики по математике Примеры решения задач

Разложение в ряд Фурье непериодических функций.

В ряд Фурье можно разлагать не только периодические функции, но и любые ограниченные функции, определенные на конечном участке числовой оси, если вне этого участка поведение функции нас не интересует.  Если участок оси симметричен [-l, l] , то используется разложение ( 26 ), ( 27 ). Если функция f(x) задана на сегменте [0, l], то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить ее в сегменте [-l, 0] произвольным образом, а затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной в сегменте [-l, l]. Наиболее удобно доопределять функцию условием четности f(-x) = f(x) или нечетности f(-x) = -f(x). В этом случае используются разложение только по синусам или только по косинусам в формулах ( 26 ), ( 27 ).

Пр. Разложить в ряд Фурье функцию заданную в сегменте [0, 1] уравнением f(x) = x

Решение 1. Доопределим функцию f(x) на сегменте  [-1, 0] нечетным образом, т.е. f(x) = x на сегменте [-1, 1]. В этом случае приходим к рассмотренной выше задаче

f(x) = 2/[(-1)n+1 sin n x] /n Составленный криволинейный интеграл сводим к определенному интегралу, используя параметрические уравнения кривой ВС:

Решение 2. Доопределим функцию f(x) на сегменте [-1, 0] четным образом, т.е. f(x) = -x . В этом случае bn = 0 , а0 = 1/l= 2= 1 ;

an = 1/l= 2 = - (2/2 )(1 - cosn)/n2 =

= - (2/2n2 ) (1 – (-1)n) = - (2/2n2 ) {

или а2m = 0 , a2m+1 = - 4/2 (2m+1)2 , т.е. получаем разложение f(x) по нечетным гармоникам косинуса f(x) = - 4/2cos (2m+1)x / (2m+1)2

Оба решения на сегменте [0, 1] дают одинаковый численный и графический результат, а за его пределами значения функций различны.

Устные экзаменационные вопросы.

по теме: «Числовые ряды»

Что такое аппроксимация функций и для чего она нужна;

Опр. бесконечной числовой последовательности и ее предела. Общая классификация бесконечных числовых последовательностей;

Опр. бесконечного числового ряда. Возможно ли его прямое суммирование?

Как определяется сумма бесконечного числового ряда?

Опр. сходимости и расходимости числового ряда;

Геометрическая прогрессия. Вывод формулы для частичной суммы, переход к пределу

Перечислить основные свойства сходящихся числовых рядов;

Необходимый признак сходимости числового ряда. Доказать;

Признаки сравнения ; Признак Даламбера; Интегральный признак Коши. Доказать;

Опр. знакочередующегося числового ряда. Признак Лейбница;

Опр. знакопеременного числового ряда. Признак абсолютной сходимости;

Опр. абсолютно и условно сходящегося числового ряда; Пр.

Опр. функционального ряда и его области сходимости;

Опр. степенного ряда и ряда по степеням х ;

Теорема Абеля;

Опр. радиуса и интервала сходимости степенного ряда и ряда по степеням х;

Написать формулу для радиуса сходимости ряда по степеням х;

Общее правило дифференцирования и интегрирования степенных рядов;

Написать в общем виде ряд Тейлора и ряд Маклорена;

Что такое многочлен Тейлора и остаточный член ряда Тейлора;

Необходимое и достаточное условие для разложения функции в ряд Тейлора;

Написать формулу Лагранжа для остаточного члена ряда Тейлора;

Алгоритм разложения произвольной функции в ряд Тейлора;

Написать формулы разложения в ряд Тейлора для функций ex, sin x, cos x, (1+x)m, ln(1+x), arctg x;

Как используют степенные ряды для приближенного вычисления значений функций;

Как используют степенные ряды для приближенного вычисления интегралов;

Как определяется погрешность при разложении функции в степенной ряд и знакочередующийся ряд;

Как используют степенные ряды для приближенного решения диф.уравнений;

Написать тригонометрический ряд;

Опр. равномерно сходящегося и мажорирующего функциональных рядов;

Какой ряд служит мажорирующим для тригонометрического ряда ?

При каком условии тригонометрический ряд может оказаться сходящимся ?

Общее определение системы ортогональных функций;

Чему равны коэффициенты разложения любой функции по системе ортогональных функций ?

Почему тригонометрические функции {1/2, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, . . .} образуют ортогональную систему ?

Опр. ряда Фурье. Написать коэффициенты ряда;

Чем различаются тригонометрический ряд и ряд Фурье?

Условия Дирихле. Признак сходимости Дирихле;

Объяснить, почему мажорирующий ряд для ряда Фурье является сходящимся;

Свойства интеграла от четных и нечетных функций по симметричным пределам;

Написать ряд Фурье для четных и нечетных функций;

Написать ряд Фурье для функций с периодом  2l;

Перечислить правила разложения в ряд Фурье непериодических функций.

Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона - Лейбница. Понятие интегральной суммы. Пусть на отрезке [a, в] задана функция у = f(x). Разобьем отрезок на п элементарных отрезков точками деления а = х0, х1, х2, …, хп = в. На каждом элементарном отрезке [xi-1, xi] выберем произвольную точку Сi и положим ?хi = xi - xi-1, где i = 1,2,…,п, в каждой точке Сi найдем значение функции f(Ci), составим произведения f(C1)?x1, f(C2)?x2, …, f(Ci)?xi, …, f(Cn)?xn, рассмотрим сумму этих произведений:
Уравнения математической физики