Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Курс практики по математике Криволинейные интегралы Векторный анализ Поверхностные интегралы Числовые  ряды Вычисление двойного интеграла Тройной интеграл Производная по направлению Экстремум функции

Курс практики по математике Примеры решения задач

Числовые  ряды.

Сложную функцию f(x) часто представляют как линейную комбинацию нескольких простых функций f(x) @ Pn(x). Это упрощает ее исследование. Чем больше простейших функций используется в Pn(x) , тем точнее приближение. При бесконечном росте числа слагаемых (n ® ¥) графики f(x) и ее апраксимации Pn(x) могут совпасть полностью.

Задачу нахождения аппраксимирующих функций решает теория рядов.

Опр. Бесконечной числовой последовательностью наз. последовательность значений функции f(x) (определенной на всей числовой оси) при целочисленных значениях аргумента. Обозначения: un = f(n) , где n = 1, 2, 3, . . . или u1, u2, u3, . . . , un, . . . 

Опр. Пределом  числовой последовательности un наз. число А, такое, что разность между ним и un  при n ® ¥ делается бесконечно малой величиной

lim (un – A) = 0 или lim un = A при n ® ¥

Опр. Числовая последовательность наз. сходящейся если имеет конечный предел и расходящейся , если предел бесконечен.

Метод подведения под знак дифференциала Если подынтегральное выражение содержит некоторую функцию и ее производную, то в этом случае используют метод подведения под знак дифференциала

Опр. Числовым рядом наз.сумма членов бесконечной числовой последовательности

u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . =  ( 1 )

Непосредственно просуммировать ряд нельзя, т.к. число слагаемых бесконечно. Приходится вводить специальную процедуру.

Опр.  Частичной суммой ряда Sn наз. сумма ее первых n членов. Sn =  

Частичные суммы ряда ( 1 ) образуют вспомогательную числовую последовательность

S1, S2, S3, . . . , Sn, . . . , где Sn = Sn – 1 + un , которая может сходится или расходится.

Опр. Суммой числового ряда ( 1 ) наз. предел последовательности частичных сумм ряда S = lim Sn при n ® ¥ ( 2 )

Ряд наз. сходящимся, если предел ( 2 ) конечен и расходящимся, если бесконечен.

Пр.1 Геометрическая прогрессия: a + aq + aq2 + aq3 + . . . Её частичную сумму Sn умножим на (1 – q). Тогда (1 – q)а= a(1 – qn) или Sn = a(1 – qn)/(1 – q). При |q| < 1 Sn имеет конечный предел: S = aq/(1 – q), а при |q| > 1 бесконечный.  Т.о. этот ряд при |q| < 1 сходится, а при |q| > 1 расходится.

 Пр. 2. Гармонический ряд 1 + ½ + 1/3 + ¼ + . . . расходится (ниже докажем).

Основные свойства сходящихся рядов.

10 Отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ряда.

Док-во. Имеем  и. Пусть , тогда

lim Sn = lim(Sk + sn – k) = Sk + lim sn – k при n ® ¥

Если существует конечный предел слева, то существует предел и справа, т.е. укороченный ряд тоже сходится.

20 Если все члены ряда имеют общий множитель, то он является общим множителем для всего ряда  = с = с S . Это свойство пределов.

30 Почленное сложение двух рядов приводит к сложению их сумм (Это свойство пределов)  = + = S1 + S2

Необходимый признак сходимости.

Если числовой ряд ( 1 ) сходится, то общий член ряда un стремится к нулю с ростом n

lim un = lim (Sn – Sn – 1) = S – S = 0 при n ® ¥ 

Если lim un ¹ 0 при n ® ¥ , то ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.

1.) Признак сравнения 1. Пусть для членов рядов  (а) и (b) выполняется неравенство 0 £ un £ vn , тогда из сходимости ряда (b) следует сходимость ряда (a) и из расходимости ряда (a) следует расходимость ряда (b). Т.е., если ряд с большими членами сходится, то ряд с меньшими членами тем более будет сходится и наоборот.

Док-во. Частичные суммы ряда (а) - sn и ряда (b) – Sn связаны неравенством 0£sn £ Sn и условием сходимости ряда  (b) Sn < S. Это устанавливает верхний конечный предел на sn : 0 £ sn £ Sn < S , т.е. ряд (а) сходится.

Пр. Определить сходимость ряда . Введем второй ряд . Это геометрическая прогрессия сq=1/5. Она сходится. Из сравнения членов un= 1/n5n <vn=1/5n следует сходимость исходного ряда.

 Признак сравнения 2. Если предел отношения общих членов двух разных рядов не совпадает с 0 или ¥ , то оба ряда или сходятся или расходятся :  при n ® ¥ .

 2.) Признак Даламбера. Если предел отношения последующего члена ряда  ( 1 ) к предыдущему меньше 1 , то ряд сходится, если больше 1, то ряд расходится

Если , то при l < 1 сход., при l > 1 расход., при l = 1 – сомнительный случай

Док-во. Отношения (un + 1 / un ) образуют вспомогательную числовую последовательность, которая может сходится или расходится. Необходимое условие сходимости : Для всякого e > 0 существует такое N , что при n > N выполняется неравенство l - e < un + 1 / un < l + e , т.е. с ростом n член последовательности оказывается в сколь угодно малой e - окрестности точки l .

Пусть l < 1, e мало и q = l + e < 1 , тогда из условия  uN + 1 / uN < q следует uN+1 <quN, uN+2 <q uN+1 < q2uN , uN+3 < q3uN , . . . В результате получаем две числовые последовательности : uN , uN+1 , uN+2 , . . . и uN , q uN , q2 uN, q3 uN . . . связанные неравенством uN+n < uN qn. Строим из них ряды. Т.к. ряд с большими членами (геометрическая прогрессия, q < 1) сходится, то ряд с меньшими членами также сходится по признаку сравнения и по свойству 10 сходится исходный ряд  . При l > 1 аналогичным образом получаем обратный результат.

3.) Интегральный признак Коши.Cумма членов бесконечной числовой последовательности un = f(n) сходится, если сходится несобственный интеграл и расходится при расходимости интеграла.

Док-во.  Ряд f(1) + f(2) + f(3) + . . . можно понимать как площадь ступенчатой фигуры, построенной вдоль кривой y=f(x), а интеграл как площадь криволинейной трапеции y = f(x) Если площадь криволинейной трапеции ограничена, то и площадь ступенчатой фигуры будет ограничена, и сумма ряда будет иметь конечное значение.

Пр. Обобщенный гармонический ряд . Вычислим интеграл J =  При a = 1 J = ln x |1¥ = ¥ , при a ¹ 1 J = x1 - a /(1-a) |1¥  Отсюда следует, что при a > 1 обобщенный гармонический ряд сходится, а при a  1 расходится. 

Знакочередующиеся числовые ряды.

Опр. Знакочередующимся наз. числовой ряд вида , un > 0 ( 3 )

Признак Лейбница.  Если члены ряда ( 3 ) последовательно убывают ( un > un+1 ) и стремятся к 0  ( lim un = 0 при n ® ¥ ), то ряд сходится, причем, его сумма S > 0 и S < u1.

Док-во. Члены частичной суммы S2m сгруппируем двумя способами :

S2m = (u1 – u2) + (u3 – u4) + . . . +(u2m-1 – u2m) ( a )

S2m = u1 – (u2 – u3) – (u4 – u5) - . . . – (u2m-2 – u2m-1) – u2m ( b )

При способе ( а ) имеем сумму положительных членов S2m > 0. При способе (b) имеем разность между u1 и суммой (m – 1) положительного слагаемого. Из этого следует, что S2m всегда ограничена S2m < u1 , а последовательность ограниченных S2m имеет предел, т.е. ряд сходится. От S2m+1 легко перейти к S2m , выделив лишний член.

Знакопеременные числовые ряды.

Опр. Знакопеременным наз. числовой ряд составленный из положительных и отрицательных членов.

Признак абсолютной сходимости. Если ряд, составленный из модулей элементов знакопеременного ряда, сходится, то и сам знакопеременный ряд является сходящимся ,

т.е. из сходимости ряда  (a) следует сходимость ряда   (b)

Док-во. В частичной сумме ряда (b) Sn выделим все положительные слагаемые  Sn’ и отрицательные слагаемые Sn’’. Тогда имеем для (b) : Sn = Sn’ - Sn’’ и для  (а) :

sn = Sn’ + Sn’’ ,следовательно,  Sn < sn . Из условия сходимости ряда  (а) следует sn < s или Sn < sn < s , т.е. частичные суммы Sn ограничены и, следовательно, знакопеременный ряд (b) сходится.

Признак абсолютной сходимости является достаточным, но не необходимым.

Пр. Ряд   сходится по признаку Лейбница ( un = 1/n > un+1 = 1/(n+1)  - да,

lim un = lim 1/n = 0 - да ), а гармонический ряд  является расходящимся.

Опр. Сходящийся знакопеременный ряд наз. абсолютно сходящимся, если также сходится ряд составленный из модулей его членов, и условно сходящимся, если ряд из модулей не сходится.

На абсолютно сходящиеся ряды переносятся все основные свойства конечных сумм.

Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона - Лейбница. Понятие интегральной суммы. Пусть на отрезке [a, в] задана функция у = f(x). Разобьем отрезок на п элементарных отрезков точками деления а = х0, х1, х2, …, хп = в. На каждом элементарном отрезке [xi-1, xi] выберем произвольную точку Сi и положим ?хi = xi - xi-1, где i = 1,2,…,п, в каждой точке Сi найдем значение функции f(Ci), составим произведения f(C1)?x1, f(C2)?x2, …, f(Ci)?xi, …, f(Cn)?xn, рассмотрим сумму этих произведений:
Уравнения математической физики