Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Курс практики по математике Криволинейные интегралы Векторный анализ Поверхностные интегралы Числовые  ряды Вычисление двойного интеграла Тройной интеграл Производная по направлению Экстремум функции

Курс практики по математике Примеры решения задач

Векторные поля и их характеристики.

Опр. Векторным полем (в.п.) наз. совокупность двух множеств: множество точек пространства М и множество векторов, каждый из которых соотнесен к определенной точке. Вектора определяются векторной функцией F = F(M) = F(x,y,z) = F( r) , которая наз. функцией векторного поля.

В координатной форме F(M) = P(x,y,z) i +Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k. Компоненты P, Q, R образуют три скалярных поля и однозначно определяют F( r) - векторную функцию от векторного аргумента.

Примеры векторных полей: гравитационное поле Земли, поле скоростей стационарного потока жидкости, электрические и магнитные поля различных систем зарядов, векторное поле градиента скалярного поля, т.к. grad U формирует свой вектор для каждой точки скалярного поля U .

Типы полей : плоское поле  F = F(x,y) ; сферическое поле F = Ф(), где , , F - на сфере имеет постоянную длину и | | нормали к сфере ; цилиндрическое поле F = Ф(), где ,

Общие геометрические характеристики векторных полей.

Пример. Найти интеграл

Опр. Векторными линиями поля наз. кривые, касательные к которым в каждой точке М совпадают с F(M).

В сферическом поле векторными линиями являются все прямые проходящие через центр, в цилиндрическом поле все прямые  к оси цилиндра.

При перемещении из точки  М вдоль векторной линии дифференциал радиус-вектора точки  т.е. , будет определять направление касательной и, следовательно, будет коллинеарен вектору F(M) . Условие коллинеарности двух векторов  = F(M) приводит к системе двух дифференциальных уравнений   ( 26 )

решение которых и определит уравнения векторных линий.

Пр. Найти векторные линии в.п. F(M) = x i – y j – 2 k .

  {  ;  }

1 уравнение : ln x = - ln y + ln C1  ln(xy) = ln C1  xy = C1 – гиперболический цилиндр

2 уравнение : ln y = ½ lnz + ln C2  ln y2/z = ln C2  y2 = zC2 – параболический цилиндр

Векторными линиями являются линии пересечения этих поверхностей. Для каждой точки М существует свой набор констант С1, С2 .

Поток векторного поля через поверхность.

Пусть даны в.п. F(M) = {P, Q, R} и двухсторонняя ориентированная поверхность G с нормальным вектором n(M) = { }.

Опр. Выберем на G бесконечно малую площадку S. Считаем, что во всех ее точках векторы F, n имеют постоянное значение. Тогда скалярное произведение этих векторов и площади S наз. потоком вектора F через бесконечно малую площадку.

*П = (F n) S = |F| cos(F^n) S = |F|nS ( 27 ) 

Пусть F - векторное поле скоростей потока жидкости. Тогда *П это объем жидкости, протекающей через S за единицу времени в направлении внешней нормали к S. |F|n - высота бруса жидкости, S - его основание. Если угол между векторами тупой и cos(F^n) < 0, то направления нормали и потока жидкости противоположны.

Запишем поток в координатной форме *П = ()S, тогда S, S, S - проекции площадки на координатные плоскости yOz, xOz, xOy, а сам поток распадается на три составляющих потока направленных вдоль координатных осей. Пусть проекции имеют форму прямоугольников, тогда

*П = Pdydz +  Qdxdz + Rdxdy ( 28 )

Множитель  означает, что вклады потоков берутся с учетом ориентации площадки.

Перейдем к поверхности G. Разделим ее на m малых площадок, для каждой определим *Пi и просуммируем их П(m) =Пi. Если *Пi определяется по формуле ( 28 ) , то предел m для этой интегральной суммы наз. поверхностным интегралом 2-ого рода

ПG =  =  =  ( 29 )

Опр. Потоком векторного поля F(M) через произвольную поверхность G наз. поверхностный интеграл от скалярного произведения вектора поля и нормального вектора поверхности или поверхностный интеграл 2-ого рода.

Если поток жидкости проходит через замкнутую поверхность, то входящие и выходящие части потока в интеграле учитываются с противоположными знаками, т.к. они по разному ориентированы относительно внешней стороны поверхности.

Гидродинамический смысл поверхностного интеграла 2 рода - разность между количествами жидкости вошедшими и вышедшими из замкнутой поверхности в единицу времени.

Рассмотрим некоторое неравномерно нагретое тело. Распределение температуры задает скалярное поле U(M). Направление передачи тепла в каждой точке задают нормали к изотермическим поверхностям  U(x,y,z) = C, т.е. grad U. Количество передаваемого тепла пропорционально скорости изменения температуры от слоя к слою, т.е. |grad U|.. Поэтому процесс теплопередачи описывает векторное поле F(M) = - k grad U(M) и общее количество тепла прошедшего через некоторую поверхность G равно

Если G замкнутая поверхность, то поток дает разность между пришедшим и ушедшим теплом из этого объема V. Однако, в V могут быть свои «источники» или «стоки» тепла (перегретые или переохлажденные участки). Если внешний приток тепла равен оттоку и поток > 0 , то мощность «источников» тепла внутри объема больше мощности «стоков» и  определит разность этих мощностей. Т.о. поток любого стационарного векторного поля устанавливает баланс между «источниками» и «стоками» этого поля в замкнутом объеме.

Пр. Найти поток сферического векторного поля с обратной квадратичной зависимостью F = r / |r|3 (закон Кулона) через сферу радиуса r .

Решение : нормированный нормальный вектор к любой точке сферы коллинеарен её радиус-вектору n = r /|r| и F n = r r /|r|4 = |r| -2 – const на сфере. Поэтому

П = = |r|-2 = S /|r|2 = (4|r|2) / |r|2 = 4

Т.о., поток не зависит от радиуса сферы и при |r|  0 оказывается «мощность» точечного «источника», расположенного в центре сферы.

В общем случае поток векторного поля F по замкнутой поверхности G можно отнести к единице объема - ПG / V , где V – объем ограниченный G , затем перейти к пределу V  0 и определить мощность потока из отдельной точки.

Опр. Дивергенцией (расходимостью) векторного поля F(M) в точке М наз. предел отношения потока по замкнутой поверхности G к объему ограниченному этой поверхностью при стягивании замкнутой поверхности G в точку М

 = div F(M) ( 30 )

Знак div определяет наличие источника (+) или стока (-) в точке М, а сама дивергенция их «мощность». Дивергенция вычисляется для всех точек векторного поля и образуют скалярное поле.

Теорема. Дивергенция векторного поля F(M)= {P, Q, R} существует в каждой точке поля, если компоненты вектора и их частные производные непрерывны, и опреде-ся по формуле

div F(M) = P’x(M) + Q’y(M) + R’z(M) ( 31 )

т.е. дивергенция равна сумме частных производных от компонент векторного поля по соответствующим координатам.

Док – во. В выражении для потока ( 29 ) используем формулу Остроградского-Гаусса и теорему о среднем для тройного интеграла

ПG =  =  = V [P’x + Q’y + R’z ]M* ( 32 )

При переходе к пределу lim ПG / V при V0 точка M*  M и получаем ( 31 ).

Дивергенция есть сумма скоростей изменения компонент поля в окрестности выбранной точки вдоль координатных осей. Если около выбранной точки в направлении координатных осей среднеарифметическая скорость изменения поля положительна, то данная точка является «источником» поля, если отрицательна, то «стоком».

Теперь формулу Остроградского – Гаусса можно переписать в векторной форме

  ( 33 )

т.е. интеграл от дивергенции векторного поля по объему равен потоку вектора через поверхность, ограничивающую данный объем. Сумма «мощностей» всех точечных «источников» и «стоков» дает общий результат, т.е. поток поля через поверхность.

Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона - Лейбница. Понятие интегральной суммы. Пусть на отрезке [a, в] задана функция у = f(x). Разобьем отрезок на п элементарных отрезков точками деления а = х0, х1, х2, …, хп = в. На каждом элементарном отрезке [xi-1, xi] выберем произвольную точку Сi и положим ?хi = xi - xi-1, где i = 1,2,…,п, в каждой точке Сi найдем значение функции f(Ci), составим произведения f(C1)?x1, f(C2)?x2, …, f(Ci)?xi, …, f(Cn)?xn, рассмотрим сумму этих произведений:
Уравнения математической физики