Начертательная
Математика
Лабораторные
Электротехника
Конструирование
Примеры
Физика
Электрические сети

Инженерная графика

Курсовая
ТОЭ
Энергетика
Черчение
Практика
Расчеты
На главную

Курс практики по математике Примеры решения задач

Векторные поля и их характеристики.

Опр. Векторным полем (в.п.) наз. совокупность двух множеств: множество точек пространства М и множество векторов, каждый из которых соотнесен к определенной точке. Вектора определяются векторной функцией F = F(M) = F(x,y,z) = F( r) , которая наз. функцией векторного поля.

В координатной форме F(M) = P(x,y,z) i +Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k. Компоненты P, Q, R образуют три скалярных поля и однозначно определяют F( r) - векторную функцию от векторного аргумента.

Примеры векторных полей: гравитационное поле Земли, поле скоростей стационарного потока жидкости, электрические и магнитные поля различных систем зарядов, векторное поле градиента скалярного поля, т.к. grad U формирует свой вектор для каждой точки скалярного поля U .

Типы полей : плоское поле  F = F(x,y) ; сферическое поле F = Ф(), где , , F - на сфере имеет постоянную длину и | | нормали к сфере ; цилиндрическое поле F = Ф(), где ,

Общие геометрические характеристики векторных полей.

Пример. Найти интеграл

Опр. Векторными линиями поля наз. кривые, касательные к которым в каждой точке М совпадают с F(M).

В сферическом поле векторными линиями являются все прямые проходящие через центр, в цилиндрическом поле все прямые  к оси цилиндра.

При перемещении из точки  М вдоль векторной линии дифференциал радиус-вектора точки  т.е. , будет определять направление касательной и, следовательно, будет коллинеарен вектору F(M) . Условие коллинеарности двух векторов  = F(M) приводит к системе двух дифференциальных уравнений   ( 26 )

решение которых и определит уравнения векторных линий.

Пр. Найти векторные линии в.п. F(M) = x i – y j – 2 k .

  {  ;  }

1 уравнение : ln x = - ln y + ln C1  ln(xy) = ln C1  xy = C1 – гиперболический цилиндр

2 уравнение : ln y = ½ lnz + ln C2  ln y2/z = ln C2  y2 = zC2 – параболический цилиндр

Векторными линиями являются линии пересечения этих поверхностей. Для каждой точки М существует свой набор констант С1, С2 .

Поток векторного поля через поверхность.

Пусть даны в.п. F(M) = {P, Q, R} и двухсторонняя ориентированная поверхность G с нормальным вектором n(M) = { }.

Опр. Выберем на G бесконечно малую площадку S. Считаем, что во всех ее точках векторы F, n имеют постоянное значение. Тогда скалярное произведение этих векторов и площади S наз. потоком вектора F через бесконечно малую площадку.

*П = (F n) S = |F| cos(F^n) S = |F|nS ( 27 ) 

Пусть F - векторное поле скоростей потока жидкости. Тогда *П это объем жидкости, протекающей через S за единицу времени в направлении внешней нормали к S. |F|n - высота бруса жидкости, S - его основание. Если угол между векторами тупой и cos(F^n) < 0, то направления нормали и потока жидкости противоположны.

Запишем поток в координатной форме *П = ()S, тогда S, S, S - проекции площадки на координатные плоскости yOz, xOz, xOy, а сам поток распадается на три составляющих потока направленных вдоль координатных осей. Пусть проекции имеют форму прямоугольников, тогда

*П = Pdydz +  Qdxdz + Rdxdy ( 28 )

Множитель  означает, что вклады потоков берутся с учетом ориентации площадки.

Перейдем к поверхности G. Разделим ее на m малых площадок, для каждой определим *Пi и просуммируем их П(m) =Пi. Если *Пi определяется по формуле ( 28 ) , то предел m для этой интегральной суммы наз. поверхностным интегралом 2-ого рода

ПG =  =  =  ( 29 )

Опр. Потоком векторного поля F(M) через произвольную поверхность G наз. поверхностный интеграл от скалярного произведения вектора поля и нормального вектора поверхности или поверхностный интеграл 2-ого рода.

Если поток жидкости проходит через замкнутую поверхность, то входящие и выходящие части потока в интеграле учитываются с противоположными знаками, т.к. они по разному ориентированы относительно внешней стороны поверхности.

Гидродинамический смысл поверхностного интеграла 2 рода - разность между количествами жидкости вошедшими и вышедшими из замкнутой поверхности в единицу времени.

Рассмотрим некоторое неравномерно нагретое тело. Распределение температуры задает скалярное поле U(M). Направление передачи тепла в каждой точке задают нормали к изотермическим поверхностям  U(x,y,z) = C, т.е. grad U. Количество передаваемого тепла пропорционально скорости изменения температуры от слоя к слою, т.е. |grad U|.. Поэтому процесс теплопередачи описывает векторное поле F(M) = - k grad U(M) и общее количество тепла прошедшего через некоторую поверхность G равно

Если G замкнутая поверхность, то поток дает разность между пришедшим и ушедшим теплом из этого объема V. Однако, в V могут быть свои «источники» или «стоки» тепла (перегретые или переохлажденные участки). Если внешний приток тепла равен оттоку и поток > 0 , то мощность «источников» тепла внутри объема больше мощности «стоков» и  определит разность этих мощностей. Т.о. поток любого стационарного векторного поля устанавливает баланс между «источниками» и «стоками» этого поля в замкнутом объеме.

Пр. Найти поток сферического векторного поля с обратной квадратичной зависимостью F = r / |r|3 (закон Кулона) через сферу радиуса r .

Решение : нормированный нормальный вектор к любой точке сферы коллинеарен её радиус-вектору n = r /|r| и F n = r r /|r|4 = |r| -2 – const на сфере. Поэтому

П = = |r|-2 = S /|r|2 = (4|r|2) / |r|2 = 4

Т.о., поток не зависит от радиуса сферы и при |r|  0 оказывается «мощность» точечного «источника», расположенного в центре сферы.

В общем случае поток векторного поля F по замкнутой поверхности G можно отнести к единице объема - ПG / V , где V – объем ограниченный G , затем перейти к пределу V  0 и определить мощность потока из отдельной точки.

Опр. Дивергенцией (расходимостью) векторного поля F(M) в точке М наз. предел отношения потока по замкнутой поверхности G к объему ограниченному этой поверхностью при стягивании замкнутой поверхности G в точку М

 = div F(M) ( 30 )

Знак div определяет наличие источника (+) или стока (-) в точке М, а сама дивергенция их «мощность». Дивергенция вычисляется для всех точек векторного поля и образуют скалярное поле.

Теорема. Дивергенция векторного поля F(M)= {P, Q, R} существует в каждой точке поля, если компоненты вектора и их частные производные непрерывны, и опреде-ся по формуле

div F(M) = P’x(M) + Q’y(M) + R’z(M) ( 31 )

т.е. дивергенция равна сумме частных производных от компонент векторного поля по соответствующим координатам.

Док – во. В выражении для потока ( 29 ) используем формулу Остроградского-Гаусса и теорему о среднем для тройного интеграла

ПG =  =  = V [P’x + Q’y + R’z ]M* ( 32 )

При переходе к пределу lim ПG / V при V0 точка M*  M и получаем ( 31 ).

Дивергенция есть сумма скоростей изменения компонент поля в окрестности выбранной точки вдоль координатных осей. Если около выбранной точки в направлении координатных осей среднеарифметическая скорость изменения поля положительна, то данная точка является «источником» поля, если отрицательна, то «стоком».

Теперь формулу Остроградского – Гаусса можно переписать в векторной форме

  ( 33 )

т.е. интеграл от дивергенции векторного поля по объему равен потоку вектора через поверхность, ограничивающую данный объем. Сумма «мощностей» всех точечных «источников» и «стоков» дает общий результат, т.е. поток поля через поверхность.

Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона - Лейбница. Понятие интегральной суммы. Пусть на отрезке [a, в] задана функция у = f(x). Разобьем отрезок на п элементарных отрезков точками деления а = х0, х1, х2, …, хп = в. На каждом элементарном отрезке [xi-1, xi] выберем произвольную точку Сi и положим ?хi = xi - xi-1, где i = 1,2,…,п, в каждой точке Сi найдем значение функции f(Ci), составим произведения f(C1)?x1, f(C2)?x2, …, f(Ci)?xi, …, f(Cn)?xn, рассмотрим сумму этих произведений:

Теплоэнергетика

Архитектура ПК
Примеры задач
Физика
Лабораторные
Теория механизмов
Математика