Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Курс практики по математике Криволинейные интегралы Векторный анализ Поверхностные интегралы Числовые  ряды Вычисление двойного интеграла Тройной интеграл Производная по направлению Экстремум функции

Курс практики по математике Примеры решения задач

Скалярное поле и его характеристики.

Рассмотрим функцию U(M), зависящую от координат точки М расположенной на плоскости (МD) или в пространстве (М).

Опр. Скалярным полем (с.п.) наз. совокупность двух множеств: множества точек пространства M и множества чисел соответствующих этим точкам, которые определяются функцией U(M). Функция U(M) наз. функцией поля.

Пр. Распределение температуры в данном теле.

Если М DR2, то поле наз. плоским, если МR3 - пространственнным. Поле наз. стационарным, если U(M) не зависит от времени. Точки поля с одинаковыми значенияи функции образуют линии уровня на плоскости U(M) = U(x,y) = C и поверхности уровня в пространстве  U(M) = U(x,y,z) = C 

Пр. U(x,y) = , D: x2 + y2 1, x2+y2 = 1 + C2 – уравнение линии уровня.

Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших

Пр. U(x,y,z) = x2 + y2 – z , D = R3 , x2+y2 = z + C – уравнение поверхностей уровня, семейство параболоидов вращения вокруг Oz.

Производная по направлению с.п.

Имеем с.п. функции  U(x,y,z) и выделенную в пространстве точку M(x,y,z), через которую проходит прямая  L в направлении, заданном единичным вектором l = {cos , cos , cos}. Определим как будет меняться значение с.п. при перемещении вдоль L от M(x,y,z) к произвольной точке M1(x,y,z).

Опр. Производной с.п.  U(x,y,z) в точке M(x,y,z) по направлению l наз. предел отношения приращения функции к пройденному пути по направлению l

lim [U(M1) – U(M_] / |MM1| = U / l ( 22 )

 M M1

Теорема. Если функция с.п.U(x,y,z) дифференцируема в и l = {cos , cos , cos}, то

U/l = (U/x) cos  + (U/y) cos  + (U/z) cos ( 23 )

Док-во. Отрезок |MM1| =  есть диагональ прямоугольного паралепипеда со сторонами  x, y, z. Он равен = . Координаты точки М1 можно записать в виде M1(x+x, y+y, z+z) = M1(x + cos , y + cos , z + cos).

По определению приращение дифференцируемой функции нескольких переменных можно представить в виде

+=+

где lim  = 0 при 0. Перейдем к этому пределу в ( 22 ) U/l = lim

и получим формулу ( 23 ).

Пр. Вычислить производную с.п. U(M) = x2y – x z3 + 1 в точке М(1;-2;1) в направлении  a = 2i – 4j + k .

*U/x|M = (2xy – z3)|M = - 5 , U/y|M = x2|M = 1 , U/z|M = -3xz2|M = -3,

|a| = *U/a = -5 2/ + 1 (-4)/   -3 1/ = -17/

Ответ: В окрестности точки М в направлении вектора а функция U(M) изменяется в 17/ раз быстрее, чем аргумент, и при этом уменьшается.

Градиент скалярного поля.

Структура выражения ( 23 ) совпадает со структурой скалярного произведения двух векторов a и b : a b = axbx + ayby + azbz , если величины *U/x, *U/y, *U/z понимать как координаты некоторого вектора. Этот вектор наз. градиентом скалярного поля U(M)

grad U = i + j + k ( 24 )

Он упрощает запись производной с.п. по направлению и является важнейшей характеристикой скалярного поля

U/l = grad U l ( 25 )

Опр. Производная с.п. по направлению равна скалярному произведению градиента поля на вектор направления, т.е. является проекцией градиента на выбранное направление.

Определим угол  между векторами grad U и l

cos =  =   U/l = |grad U| cos

Повернем вектор l в сторону вектора grad U . При их совпадении, когда  = 0 и cos = 1, U/l принимает наибольшее значение.

Опр. Вектор grad U определяет направление наибольшего изменения с.п. в точке М и его модуль равен скорости этого изменения.

Опр. grad U является нормальным вектором к поверхности уровня U(x,y,z) = C , проходящей через точку М .

  Это следует из общего уравнения касательной плоскости к поверхности U(x,y,z) = =C в точке M0(x0, y0, z0)

(U/x)|M (x – x0) + (U/y)|M (y – y0) + (U/z)|M(z – z0) = 0 

где нормальный вектор касательной плоскости определен в виде N = {,,} , т.е. совпадает с вектором grad U

Пр. Дано с.п. U(M) = xy2 + z2. Найти наибольшее значение U/l в точке M(2;1;-1)

Решение:

 grad U = y2 i + 2xy j +2z k , grad U|M = i + 4j – 2k , U/l|наиб = |grad U|M = ==

Для обозначения grad U также применяется дифференциальный оператор. Он наз. оператором Гамильтона или набла-опрератором

i + j + grad U = U

Понятие определенного интеграла. Обозначим длину наибольшего из отрезков разбиения через max ?хi, где i=1,2,…п Определение. Пусть предел интегральной суммы ? f(Ci)?xi при стремлении max ?хi к нулю существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [a, в] на части и от выбора точек С1, С2, …, Сп. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у = f(х) на [а, в]
Уравнения математической физики