Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Курс практики по математике Криволинейные интегралы Векторный анализ Поверхностные интегралы Числовые  ряды Вычисление двойного интеграла Тройной интеграл Производная по направлению Экстремум функции

Курс практики по математике Примеры решения задач

Криволинейные интегралы 1-ого рода.

Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x) , [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью (M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.

1) Операция разбиения. Разделим кривую L на  n участков некоторыми точками А0 = А, А1, . . . , Аn = В. Соединим соседние точки отрезками АiАi+1 длиной si и выделим на каждом из них некоторую точку Мi().

Приближенно масса отдельного отрезка равна mi = (Mi) si , 

Массу всех отрезков определяет интегральная сумма

m(n) = (Mi) si ( 1 )

4) Переход к пределу n дает точное решение задачи.

Главные особенности интегральной суммы ( 1 ) : 1) включает не только параметры кривой L , но и дополнительную функцию двух переменных f(x,y) ; 2) приобретает физический смысл .

Опр.  Криволинейным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y) вдоль кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки. Переменной интегрирования является длина кривой s.

J = lim f() si  f(x,y) ds   f(x,y) ds ( 2 )

n

Механический смысл криволинейного интеграла 1 рода : общая масса тел распределенных вдоль кривой с переменной плотностью.

Криволинейный интеграл сводится к обыкновенному определенному интегралу несколькими способами, в зависимости от способа описания кривой L.

Кривая L задана параметрически : x = x(s) , y = y(s) , 0sS , где s – длина кривой. Тогда

f(x,y) ds = f(x(s), y(s)) ds ( 3 )

2) Кривая L задана через произвольный параметр t : x = (t) , y = (t) , t1tt2 . 

Тогда, длину отрезка АiАi+1  можно представить в виде

*s = 

 и в пределе n lim = j`t , lim  = f`t , 

 *s  ds = dt

f(x,y) ds = f((t) ,(t)) dt ( 4 )

3) Кривая L задана явным уравнением : y = y(x) на [a,b] .

Тогда *s = или ds = dx . В результате имеем

f(x,y) ds = f(x,y(x)) dx ( 5 )

Понятие определенного интеграла. Обозначим длину наибольшего из отрезков разбиения через max ?хi, где i=1,2,…п Определение. Пусть предел интегральной суммы ? f(Ci)?xi при стремлении max ?хi к нулю существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [a, в] на части и от выбора точек С1, С2, …, Сп. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у = f(х) на [а, в]
Уравнения математической физики