Курс практики по математике

Решение дифференциальных уравнений
Примеры решения типовых задач
Курс практики по математике
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
История дизайна
Архитектура ПК
Лабораторные работы по оптоэлектронике
Лабораторные работы по электротехнике
Электрические аппараты
Курс лекций по физике
Малая теплоэнергетика
Промышленные выставки
Техника как искусство
Дворец промышленности
Эйфелева башня
Инженерный стиль
Архитектурный стиль
Первая Всероссийская выставка
Художественно-промышленная выставка
Выставки в Нижнем Новгороде
История теории дизайна
Новый стиль в Европе
Художественный авангард
Производственное искусство
Оформление революционных праздников.
Агитационно-массовое искусство
Первые школы дизайна
Баухауз
Иттен Иоханес
Работы студентов
Шлеммер Оскар
Баухауз в Дессау
Бройер Марсель
Баухауз в Берлине
ВХУТЕМАС и ВХУТЕИН
Стилевые направления
Эпоха джаза
Интернациональный стиль
Арт-Деко. Франция
Новации в области моды
Художественное формообразование в нацистской Германии
Дизайн для всех
Дизайн и техника
Обтекаемая форма
Начертательная геометрия
Примеры позиционных и
метрических задач
Решение дифференциальных уравнений
Примеры решения типовых задач
Эргономичный дизайн
Формирование профессии "дизайнер"
Истоки органического дизайна
Предвоенный дизайн в СССР
Транспортный дизайн
Элитарный дизайн
Послевоенный дизайн
Высшая  школа
формообразования
Поп-культура и поп-дизайн 60-х
Футуристическая  мода 60-х
Передняя Азия
Радикальный дизайн
Концептуальные поиски
советских дизайнеров
От модерна к постмодерну
Новый дизайн
Хай-тек –
стиль высоких технологий
Зодчество древнерусское
Мозаика и фреска
Иконопись
Страны Дальнего Востока
Художественное оформление
книги
Эпоха Возрождения
Искусство Древнего Египта
Ювелирное искусство
Adobe Illustrator
Стили и эффекты
Экспортирование изображений
 

Криволинейные интегралы 1-ого рода. Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x) , [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью (M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.

Основные свойства криволинейного интеграла 1 рода Обычный определенный интеграл есть частный случай криволинейного интеграла, когда в качестве L берется отрезок оси Ох. Поэтому свойства интегралов аналогичны.

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода. Кривая L задана через произвольный параметр t : x =(t), y = (t), z = (t), t1tt2 . Тогда, dx = `dt , dy = `dt , dz = `dt  и имеем для плоской кривой

Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды x = t –sin t, y = 1 – cos t, o £ t £ p Решение:  Координаты центра тяжести однородной дуги кривой L вычисляются по формулам : xc =  , yc =  , где s – длина дуги. 

Формула Грина. Рассмотрим интеграл 2-ого рода по замкнутому контуру L на плоскости

Задача о массе поверхности. Пусть на гладкой поверхности z = z(x,y) распределена масса с поверхностной плотностью = f(x,y,z). Найти массу всей поверхности.

Векторный анализ. Пусть некоторая линия L в пространстве задана векторным уравнением r = r(t) = = x(t) i + y(t) j + z(t) k , t1 < t < t2 .

Найти интеграл . Решение. Применим указанный прием: выделим в числителе производную квадратного трехчлена и преобразуем числитель:

Поверхностные интегралы 2 рода. Пусть через замкнутую поверхность проходит поток жидкости или тепла. Входящий и выходящий потоки дают взаимоисключающий результат и поэтому их надо различать. Различать их можно по знаку cos, где  - угол между нормальным вектором внешней стороны замкнутой поверхности и направляющим вектором потока.

Применение поверхностных интегралов. Так как поверхностные интегралы 1 и 2 рода сводятся к обычным двойным интегралам, то различные задачи, которые приводят к вычислению двойных интегралов, могут быть представлены через поверхностные интегралы. Рассмотрим несколько таких примеров.

Скалярное поле и его характеристики. Рассмотрим функцию U(M), зависящую от координат точки М расположенной на плоскости (МD) или в пространстве (М).

Векторные поля и их характеристики. Опр. Векторным полем (в.п.) наз. совокупность двух множеств: множество точек пространства М и множество векторов, каждый из которых соотнесен к определенной точке. Вектора определяются векторной функцией F = F(M) = F(x,y,z) = F( r) , которая наз. функцией векторного поля.

Ротор (вихрь) векторного поля. Опр. Циркуляцией векторного поля. F(M) = {P, Q, R}  вдоль замкнутой кривой L наз. криволинейный интеграл от скалярного произведения вектора поля и дифференциала радиус-вектора перемещающегося вдоль кривой Ц L =   =  

Числовые  ряды. Сложную функцию f(x) часто представляют как линейную комбинацию нескольких простых функций f(x) @ Pn(x). Это упрощает ее исследование. Чем больше простейших функций используется в Pn(x) , тем точнее приближение. При бесконечном росте числа слагаемых (n ® ¥) графики f(x) и ее апраксимации Pn(x) могут совпасть полностью.

Функциональный ряд. Опр. Функциональным наз. ряд члены которого являются функциями от х .

Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена. Алгоритм разложения: 1) Составляем для функции f(x) ряд Тейлора ; 2) Находим интервал сходимости этого ряда ; 3) Проверка условия lim Rn(x) = 0 при n

Решение дифференциальных уравнений. Решаем задачу Коши для диф. уравнения 2-ого порядка : y’’ = f(x,y,y’) , причем, y(x0) = y0 , y’(x0) = y’0

Периодическая функция с периодом 2 определена как f(x) = x , . Разложить ее в ряд Фурье. Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле.

Разложение в ряд Фурье непериодических функций. В ряд Фурье можно разлагать не только периодические функции, но и любые ограниченные функции, определенные на конечном участке числовой оси, если вне этого участка поведение функции нас не интересует.  Если участок оси симметричен [-l, l] , то используется разложение ( 26 ), ( 27 ). Если функция f(x) задана на сегменте [0, l], то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить ее в сегменте [-l, 0] произвольным образом, а затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной в сегменте [-l, l]. Наиболее удобно доопределять функцию условием четности f(-x) = f(x) или нечетности f(-x) = -f(x). В этом случае используются разложение только по синусам или только по косинусам в формулах 

Уравнения математической физики

Вывод уравнения колебаний струны. Пусть свободно изгибающаяся струна имеет силу натяжения на концах - T0, r - линейная плотность струны [ г/см ] , u(x,t) – амплитуда отклонения от оси Ох , F(x,t) – линейная плотность силы, действующая на струну ^  Ох [н/см ] .

Вывод уравнения теплопроводности. Рассмотрим некоторое неравномерно нагретое тело. Распределение температуры задает скалярное поле T(M). Точки тела с одинаковой температурой образуют изотермические поверхности T(x,y,z) = C. Передача тепла идет от одной поверхности к соседней и направление движения тепла в каждой точке М задает нормаль к её изотермической поверхности T(x,y,z) = C, т.е. grad T. Количество передаваемого тепла пропорционально скорости изменения температуры от слоя к слою, т.е. |grad T|.

Распространение электрических возмущений вдоль линии электропередач. Колебательный контур это модель с сосредоточенными параметрами L, C, R. Его описывают обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами В длинных проводах электропередач эти параметры рассредоточены и нужен другой метод описания.

Элементы теории поля Площадь гладкой поверхности. Гладкую поверхность G описывает уравнение z = f(x,y). Она имеет верхнюю, нижнюю стороны и границы.

Скалярное поле Опр. Скалярным полем (с.п.) наз. совокупность двух множеств: множества точек пространства M и множества чисел соответствующих этим точкам, которые определяются функцией U(M). Функция U(M) наз. функцией поля.

Пример. Записать формулы Остроградского-Гаусса в векторной и координатной форме для векторного поля (M) = { -yz; -xz; yz}.

Пример. Найти циркуляцию векторного поля = yi – x j + z k вдоль окружности x = r cos t , y = r sin t , z = 1 в положительном направлении, т.е. 0 < t < 2

Уравнения математической физики Дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция u = u(x1, . . . ,xn) зависит от нескольких аргументов наз. дифференциальным уравнением в частных производных (ДУЧП)

Пример решения расчетного задания Задание 1. Найти общее решение уравнения u``xx - 2u``xy + u``yy + 2u`x - 2u`y = 0, приведя его к каноническому виду (Метод Даламбера).

Интегральное исчисление функций нескольких переменных

Условия существования двойного интеграла Нижняя и верхняя суммы Дарбу Как и в одномерном случае, при изучении двойного интеграла существенную роль играют суммы Дарбу.

Основные свойства двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием Повторные интегралы I случай. Прямоугольная область.

Вычисление двойного интеграла

Замена переменных в двойном интеграле

Двойной интеграл в полярных координатах Если преобразование стоит в переходе к полярным координатам, то формула (6) примет вид: . Переход к полярным координатам эффективен, если уравнение границы области интегрирования или подынтегральная функция содержит выражение x2+y2.

Приложения двойного интеграла Площадь поверхности

Физические приложения двойного интеграла Вычисление массы плоской фигуры

Тройной интеграл Определение тройного интеграла и условия его существования Кубируемое тело и его объем Понятие объема тела произвольной формы вводится аналогично понятию площади плоской фигуры. Давая определение площади плоской фигуры, мы опирались на понятие площади многоугольника. При введении понятия объема тела за основу берется понятие объема многогранника (его считаем известным).

Вычисление тройного интеграла сведением к повторному Пусть функция f(x;y;z) непрерывна в некоторой области (V). Пусть поверхность (S), ограничивающая тело (V), пересекается не более чем в двух точках любой прямой, параллельной одной из осей координат (например Oz). Более сложные области сводятся к рассматриваемой путем разбиения на части.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных

Предел и непрерывность функции двух переменных Понятие предела функции двух переменных

Повторные пределы Для функций нескольких переменных наряду с обычным понятием предела функции (при одновременном стремлении всех аргументов к их пределам) вводится понятие повторного предела, получаемого в результате ряда последовательных предельных переходов по каждому аргументу в отдельности в том или ином порядке. (Обычный предел функции n переменных называется n-кратным: двойным, тройным и т.д.)

Пример. Найти точки разрыва функции .

Пример. Найти полное приращение функции z=x2-xy+y2 в точке (х0,у0).

Выражение дифференциала через частные производные

Геометрический смысл дифференциала Пусть функция z=f(x;y) дифференцируема в точке (х0;у0). Тогда в этой точке существует дифференциал , а график функции в точке (x0;y0;z0) имеет касательную плоскость, задаваемую уравнением

Производная по направлению. Градиент

Производные и дифференциалы высших порядков Частные производные высших порядков Пусть функция z =f(x,y) задана на области G. Пусть на G существуют частные производные  и . Они называются частными производными первого порядка функции f .

Дифференциалы высших порядков

Формула Тейлора для функции двух переменных Пусть функция F(t) в некоторой окрестности V(t0) имеет производные до (n+1)-го порядка включительно

Неявные функции одной переменной

Пример. Вычислить производные первого и второго порядка функции, заданной неявно уравнением  (x>0).

Экстремум функции нескольких переменных Понятие экстремума, необходимое и достаточное условия