Начертательная
Математика
Лабораторные
Электротехника
Конструирование
Примеры
Физика
Электрические сети

Инженерная графика

Курсовая
ТОЭ
Энергетика
Черчение
Практика
Расчеты
На главную

Курс лекций по физике Примеры решения задач

Распределение Ферми–Дирака

Квантовая статистика Ферми–Дирака описывает идеальный газ из фермионов – ферми–газ.

Распределение Ферми–Дирака – закон , выражающий распределение частиц по энергетическим состояниям в ферми–газе: при статистическом равновесии и отсутствии взаимодействия среднее число частиц в i–ом состоянии с энергией Ei при температуре Т равно:

 .

Из этой формулы следует, что <Ni>Ф-Д не может быть больше единицы. Это означает, что в одном квантовом состоянии не может находиться более одной ферми–частицы, что согласуется с принципом Паули

Химический потенциал для фермионов может быть только положительным ( μ > 0 ). Иначе при  числа заполнения стали бы равными нулю, чего естественно быть не может.

Для случая малых чисел заполнения ( <Ni>Ф-Д << 1 ) получаем

 и 

Тогда (пренебрегая единицей в знаменателе) получаем

 , где А = ехр

Видим, что распределение Ферми–Дирака при малых числах заполнения (разреженный газ фермионов) переходит в классическое распределение Максвелла–Больцмана.

I – статистическое распределение

  Максвелла–Больцмана;

II – статистическое распределение

 Ферми–Дирака.

15-2

Можно сделать вывод, что разреженные квантовые газы (и в случае бозонов, и в случае фермионов) не являются вырожденными и подчиняются классической статистике.

Хотя квантовая статистика в данном случае приводит к тем же результатам, что и классическая, квантовая природа частиц газа остаётся неизменной.

Кардинальное различие между статистическими распределениями Максвелла–Больцмана и Ферми–Дирака наблюдаются  при  . Классические частицы могут накапливаться в одном и том же состоянии в большом количестве. Для них <Ni> тем больше, чем меньше их энергия Е. Что же касается фермионов, то максимальное их число в одном квантовом состоянии не может превышать единицу, что согласуется с принципом Паули.

Химический потенциал μ имеет размерность энергии и в случае фермионов его называют энергией Ферми или уровнем Ферми и обозначают EF. При этом распределение Ферми–Дирака принимает вид

<Ni>Ф-Д =  .

Энергия Ферми является медленно меняющейся функцией температуры Т.

Подставляя в это выражение Т = 0 (говоря о Т = 0, подразумевают, что температура может быть сколь угодно близка к абсолютному нулю, т.е. ) получаем

<Ni>Ф-Д = 1 при E < EF(0)

<Ni>Ф-Д = 0 при  E > EF(0)

Здесь ЕF(0) – значение энергии Ферми при Т = 0.

Полученные результаты показывают, что все квантовые состояния с энергиями E < EF(0) оказываются занятыми фермионами, а все состояния с энергиями E > EF(0) – свободными.

Физический смысл энергии Ферми заключается в том, что при  энергия Ферми EF(0) является максимальной энергией , которой могут обладать фермионы.

Ниже приведены графики зависимости  <Ni> от Е при Т = 0 (слева) и при Т (справа)

При Т = 0 распределение Ферми–Дирака представляет собой ступенчатую функцию единичной высоты, обрывающуюся при Е = ЕF(0).

При температуре отличной от нуля резкий скачок <Ni>Ф-Д от единицы до нуля становится более размытым и происходит в области энергий, ширина которой порядка kT

При любой температуре отличной от нуля  при E = EF.

Наряду с энергией Ферми EF  при анализе поведения ферми-частиц вводится также импульс Ферми pF и скорость  Ферми υF , определяемые соотношениями

 и  .

Это максимальные импульс и скорость, которыми может обладать ферми-частица с массой то при температуре Т = 0.

Элементы физической кинетики Время релаксации. Эффективное сечение рассеяния. Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул. Явления переноса: диффузия, теплопроводность, внутреннее трение. Уравнения и коэффициенты переноса. Реальные газы Силы и потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействия. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Критическое состояние. Внутренняя энергия реального

Теплоэнергетика

Архитектура ПК
Примеры задач
Физика
Лабораторные
Теория механизмов
Математика