Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Курс лекций по физике Законы теплового излучения Фотоэффект Ядерная модель атома Квантовые генераторы Зонная теория твёрдых тел Электропроводимость металлов Ядерная физика Дозиметрия

Курс лекций по физике Примеры решения задач

Операторы энергий

Кинетическая энергия в классической механике 

В соответствии со вторым постулатом получаем

Для потенциальной энергии в стационарном силовом поле  Методы малого параметра. Метод последовательных приближений. Уже в прошлом столетии существовал математический аппарат, который при надлежащем развитии и обобщении мог бы быть применим для исследования нелинейных колебаний, во всяком случае, для колебаний, достаточно близких к линейным. Достаточно близкими к линейным обычно называются колебания, для которых соответствующее дифференциальное уравнение хотя и является нелинейным, но содержит некоторый параметр ε, входящий в это уравнение так, что при равенстве нулю этого параметра, нелинейное дифференциальное уравнение, вырождается в линейное с постоянными коэффициентами.

получаем: .

Оператор полной энергии

Этот оператор называют оператором функции Гамильтона  или

гамильтонианом, который является основным оператором квантовой механики, определяющим все особенности квантовой системы.

 Уравнение Шрёдингера в операторной форме принимает вид:

Временное –

Для стационарных состояний –

 

 Для чего используются операторы квантовой механики?

 Во первых: для определения среднего значения любой физической величины.

 Во вторых: состояние, в котором физическая величина Q имеет определённое значение ( так называемое собственное состояние ), описывается Ψ-функцией, являющейся решением уравнения

 Примером такого уравнения является уравнение Шрёдингера для стационарного состояния.

 Физический смысл могут иметь лишь такие решения этого уравнения, которые всюду конечные, однозначные, непрерывные и гладкие. Эти условия называются естественными или стандартными.

 Функции, являющиеся решением данного уравнения и удовлетворяющие естественным условиям называются собственными функциями оператора   .

 Те значения величины Q , при которых эти решения существуют, называются  собственными значениями физической величины Q , например, собственные значения энергий в потенциальных ямах.

 Набор (спектр) собственных значений физической величины Q иногда оказывается непрерывным, а иногда дискретным. Примером дискретности в микромире являются оптические спектры атомов, которые состоят из ряда отдельных тонких линий.

 Рассмотрим несколько задач о нахождении спектров собственных значений:

 1). Координата х

   и  т.е. спектр непрерывный.

 2). Проекция импульса  рх

    

Функция Ψ определена при всех значениях рх  т.е. спектр собственных значений рх непрерывен (  ).

 3). Проекция момента импульса Lz

    

Собственные функции оператора  должны быть однозначными функциями. Так как угловая координата  φ является циклической переменной, то условие однозначности собственной функции сводится к условию её периодичности :

Тогда     , где  Следовательно спектр дискретный.

 Значение константы  выбрано из условия нормировки

7 - 5

 4). Квадрат момента импульса L2

Спектр собственных значений оператора  оказывается дискретным, т.е. уравнение   имеет решения только для значений

 , где l = 0; 1; 2; 3; …

 Собственные функции оператора   имеют вид:

 l = 0; 1; 2; 3; …  .

 Задача

 Найти собственные значения оператора  , принадлежащее собственной функции  , где С – постоянная.

Решение:

 Т.к.  то .

 Но 

 Следовательно А =4 .

1. Физика атомов и молекул Опыты Резерфорда. Ядерная модель атома. Атом водорода. Водородоподобные атомы. Постулаты Бора. Пространственное квантование. Магнитный момент атома. Опыты Штерна и Герлаха. Спин электрона. Атом водорода по теории Шредингера. Многоэлектронные атомы. Принцип Паули. Электронные оболочки атомов. Заполнение электронных оболочек.
Фотопроводимость полупроводников