Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Курс лекций по физике Законы теплового излучения Фотоэффект Ядерная модель атома Квантовые генераторы Зонная теория твёрдых тел Электропроводимость металлов Ядерная физика Дозиметрия

Курс лекций по физике Примеры решения задач

Операторы физических величин

 Ранее было сказано, что состояние квантовой частицы определяется не координатами и импульсом, а заданием Ψ-функции, вид которой зависит от конкретного потенциального поля ( 1-ый постулат квантовой механики ). Волновая функция, описывающая сама по себе распределение по координатам, определяет также распределение по импульсам и другим динамическим характеристикам частицы, таким как кинетическая энергия, момент импульса и др.

 Таким образом Ψ-функция полностью определяет не только «положение» частицы, но и все её динамические характеристики.

  Для получения информации о физических величинах, связанных с движущейся частицей, в квантовой механике разработан специальный математический аппарат, в котором используют операторы физических величин и результаты их действия на волновую функцию.

  Оператором называют символическое обозначение математической операции, которую необходимо совершить с интересующей нас функцией. Примером оператора могут служить умножение на х , или на какую-либо функцию f(x), дифференцирование по х т.е.  ;  , операторы набла -  , лапласиан -  и т.д.

 В квантовой механике операторы принято обозначать буквами со «шляпкой», например , , а его действие на некоторую функцию f( x ) записывают как  .

 Некоторые свойства операторов: Особенности задач анализа колебаний в нелинейных цепях. Анализ колебаний в нелинейных цепях представляет большие трудности. В настоящее время не существует единого математического метода, пригодного для исследования любых нелинейных цепей при произвольных режимах их работы. Каждый метод оказывается достаточно эффективным обычно лишь для одного или нескольких режимов работы того или иного класса нелинейных цепей.

 1). Операторы можно складывать:  . Действие такого суммарного оператора на любую функцию f( x) даёт результат

 2). Под произведением операторов  понимают оператор, результат действия которого на любую функцию f(x) равен

 .

Т.е. функция f(x) сначала подвергается действию оператора , а затем полученный результат – действию оператора  .

 Следует иметь ввиду, что не всегда  . Если такое равенство соблюдается, то это значит, что операторы  и  коммутируют друг с другом (коммутирующие операторы ).

  Пример некоммутирующих операторов – это х и :

 , а   .

7 - 2

 3). Оператор  называют линейным, если для любых двух функций f1 и f2 и любых постоянных а1 и а2 выполняется соотношение

.

 С линейностью операторов связан принцип суперпозиции состояний.

 4). Если  то .

Представление физических величин операторами

в квантовой механике

 Второй постулат квантовой механики - каждой физической величине соответствует определённый оператор этой физической величины. При этом соотношения между операторами в квантовой механике имеют ту же структуру, что и соотношения между соответствующими им физическими величинами в классической механике.

Оператор координаты

 ;  ;  .

.

Оператор импульса

 ;  ; ;

.

 3. Оператор квадрата импульса

4. Оператор момента импульса

 =

Оператор квадрата момента импульса

 При решении задач часто бывает удобно записывать   в cферической

 системе координат ( r, θ, φ )

 , где

 - угловая часть оператора Лапласа в 

 сферической системе координат

1. Физика атомов и молекул Опыты Резерфорда. Ядерная модель атома. Атом водорода. Водородоподобные атомы. Постулаты Бора. Пространственное квантование. Магнитный момент атома. Опыты Штерна и Герлаха. Спин электрона. Атом водорода по теории Шредингера. Многоэлектронные атомы. Принцип Паули. Электронные оболочки атомов. Заполнение электронных оболочек.
Фотопроводимость полупроводников