Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Курс лекций по физике Законы теплового излучения Фотоэффект Ядерная модель атома Квантовые генераторы Зонная теория твёрдых тел Электропроводимость металлов Ядерная физика Дозиметрия

Курс лекций по физике Примеры решения задач

Одномерный потенциальный порог и барьер

 Движение частицы в области потенциального порога

  Потенциальным порогом ( потенциальной стенкой ) называют силовое поле, в котором потенциальная энергия частицы имеет вид

Проиллюстрируем один из вариантов метода фазовой плоскости на примере анализа цепи с туннельным диодом

 Пусть слева на порог налетает частица с полной энергией Е . На языке квантовой теории это означает, что на порог слева  «падает» дебройлевская волна 

 .

 Чтобы удовлетворить граничным условиям для Ψ  и  при х = 0, должны существовать как прошедшая волна, так и отражённая. Так как ω в этих волнах одна и та же  , то в расчётах можно ограничиться только координатной частью этих волн, а именно Ψ( х ).

 Задача состоит в том, чтобы сначала найти амплитуды отражённой и падающей волн, а затем коэффициенты отражения R и  пропускания D .

 Уравнение Шрёдингера для частицы в данном силовом поле имеет вид:

в области I ( x < 0 ) 

 в области II ( x > 0 ) 

 1).Низкий порог ( Е > U0 )

 Общее решение уравнения Шрёдингера имеет вид:

, где 

 , где 

 Будем считать, что падающая волна характеризуется амплитудой А1 , причём вещественной, а отражённая – амплитудой В1 . В области  II ( x > 0) имеется только проходящая волна, поэтому В2 =0 .

Из условия непрерывности Ψ и  в точке х = 0 следует, что   или  и

 или 

 Тогда

 и 

 Для определения коэффициентов R и D вводят понятие  плотности потока вероятности j , вектор которого определяется через волновую функцию следующим образом:

 В соответствии с видом Ψ-функции для падающей, отражённой и прошедшей волн имеем:

jпад ~ k1A12 , jотр ~ k1B12 и jпрош ~ k2A22

 Теперь можно записать

 для коэффициента отражения

для коэффициента пропускания

 Видно, что R + D = 1 , что и должно быть по определению. Коэффициенты R и D не зависят от направления движения частицы: слева направо или наоборот.

 В классическом случае при E > U0 должно быть R = 0.

  Эффект надбарьерного отражения ( R > O ) является чисто квантовым и объясняется наличием у частицы волновых свойств.

 2). Высокий порог ( E < U0 ).

  В этом случае  является чисто мнимым. Коэффициент отражения   т.к. числитель и знаменатель –

величины комплексно-сопряжённые. Таким образом, отражение будет полным, а D = 0.

 Но волновая функция при x > 0 не обращается в нуль, т.е. микрочастицы могут проникать в области, которые для макроскопических частиц недоступны.

 Плотность вероятности нахождения частицы в области II определяется выражением

 и зависит от массы т0 , разности ( U0 – E ) и расстояния от границы порога.

 Для электрона с (U0 – E) = 1 эВ вероятность нахождения на расстоянии от порога сравнимым с размерами атома ( х = 10-10 м ) достаточно велика, а на расстоянии в 10 раз большем ( х = 10-9 м ) ничтожно мала.

  Отражение хотя и является полным (R = 1) не обязательно происходит на самом пороге. Частица может проникнуть в область II , а затем выйти из неё ( аналогично полному внутреннему отражению в оптике).

1. Физика атомов и молекул Опыты Резерфорда. Ядерная модель атома. Атом водорода. Водородоподобные атомы. Постулаты Бора. Пространственное квантование. Магнитный момент атома. Опыты Штерна и Герлаха. Спин электрона. Атом водорода по теории Шредингера. Многоэлектронные атомы. Принцип Паули. Электронные оболочки атомов. Заполнение электронных оболочек.
Фотопроводимость полупроводников