Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Решение дифференциальных уравнений Использование метода Фурье Примеры решения задач Приближенный метод интегрирования систем Примеры решения типовых задач Контрольная работа Линейная алгебра

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Пример выполнения контрольной работы 1 (часть 2)

Задание 1. Выполнить действия с матрицами: .

Решение. По правилу умножения матриц:

. Ответ: .

Задание 2. Вычислить определитель матрицы: .

Решение. Преобразуем определитель так, чтобы в первой строке все элементы стали нулевыми, за исключением элемента, расположенного в первом столбце. Для этого умножим все элементы первого столбца на (-2) и сложим с соответствующими элементами второго столбца:

{Теперь умножим все элементы первого столбца на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьего столбца}{Разложим определитель по элементам первой строки}{Полученный определитель 3-го порядка преобразуем так, чтобы во второй строке все элементы стали нулевыми, за исключением элемента в первом столбце. Для этого умножим все элементы первого столбца на (-3) и сложим с соответствующими элементами второго столбца}{Теперь умножим все элементы первого столбца на 2 и сложим с соответствующими элементами третьего столбца}{Разложим определитель по элементам второй строки}.

Ответ: .

Задание 3. Определить, имеет ли матрица  обратную, и, если имеет вычислить ее: .

Решение. Вычислим определитель матрицы. Преобразуем его так, чтобы в третьей строке все элементы, кроме, расположенного в первом столбце, стали нулевыми. Умножим все элементы первого столбца на (-5) и сложим с соответствующими элементами второго столбца:

{Умножим все элементы первого столбца на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьего столбца}{Разложим определитель по элементам третьей строки}. Итак, , матрица – невырожденная и у нее существует обратная.

Транспонируем исходную матрицу: .

Для каждого элемента транспонированной матрицы найдем алгебраическое дополнение:

; ; ; ; ; ; ; ; .

Подставляем в транспонированную матрицу вместо элементов их алгебраические дополнения и делим каждый элемент на определитель исходной матрицы, получаем матрицу, обратную к исходной:

.

Проверяем выполнение условия: :

. Ответ: .

Задание 4. Вычислить ранг матрицы .

Решение. Матрица имеет четыре столбца и три строки, поэтому . Кроме того, матрица содержит столбец с нулевыми элементами, и все миноры 3-го порядка будут содержать этот нулевой столбец, кроме одного. Вычислим его: {Преобразуем так, чтобы в третьей строке все элементы, кроме находящегося во втором столбце, были нулевыми. Умножим элементы второго столбца на 2 и сложим с элементами первого столбца. Затем умножим элементы второго столбца на (-3) и сложим с элементами третьего столбца. Разложим по элементам третьей строки} .

Все миноры 3-го порядка равны нулю, следовательно, . Достаточно найти хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от нуля, например, . Нашли минор 2-го порядка отличный от нуля, так как все миноры более высокого порядка равны нулю, то делаем вывод, что . Ответ: .

Задание 5. Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение. 1) Найдем определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных:

.

2) Найдем определители ,  для каждой  переменной системы заменой -го столбца элементов на столбец свободных членов системы:

;

;

;

.

Находим решение системы:

; ; ; .

3) Проверяем найденное решение:

 

Ответ: .

Сложная функция. (суперпозиция функций). Пусть функция у = f(u) есть функция от переменной u, определенная на множестве U с областью значений - У, а переменная u = ?(х) функция от переменной х, определенной на множестве Х с областью значения U. Тогда заданная на множестве Х функция у = f(?(x)) называется сложной функцией (функцией от функций). Например, у = lg sin 3х. Эту сложную функцию от х можно расписать, как цепочку простых функций: у= lg u, u = sin t, t = 3x.
Решение систем линейных уравнений