Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Решение дифференциальных уравнений Использование метода Фурье Примеры решения задач Приближенный метод интегрирования систем Примеры решения типовых задач Контрольная работа Линейная алгебра

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Матричный метод

Пусть дано матричное уравнение: , где  и  - заданные матрицы, причем матрица  – невырожденная. Требуется найти матрицу .

Матричный метод решения состоит в следующем: так как матрица   – невырожденная, то существует обратная матрица . Если умножить слева обе части первого из рассматриваемых уравнений на : , так как , то

.

( 4.5 )

Аналогично, рассуждаем при поиске решения матричного уравнения вида

.

Умножаем справа обе части уравнения на матрицу , обратную к матрице , получаем формулу:

.

( 4.6 )

Метод Гаусса-Жордано

Данный метод еще называют методом исключения неизвестных. Суть его состоит в том, что исходную матрицу преобразуют по строкам так, чтобы обнулить коэффициенты при неизвестных, и привести матрицу к треугольному виду.

Пример 4.12. Решить систему линейных уравнений, используя правило Крамера, матричным методом и методом Гаусса-Жордано:

.

Решение (правило Крамера). Согласно правилу Крамера нужно составить определители системы и соответствующие каждому неизвестному. И затем по формуле ( 4.4 ) найти решение.

Найдем определитель системы:

.

Найдем определители для каждого неизвестного, заменяя столбец коэффициентов при этом неизвестном, столбцом свободных членов:

;

.

.

Теперь по формуле ( 4.4 ) определим значения неизвестных:

; ; .

Ответ: ; ; .

Решение (матричным методом):

Введем обозначения:

; ; ,

тогда исходную систему можно переписать в виде: .

Решение такой системы определяется по формуле ( 4.5 ), в которую входит матрица обратная к исходной . Найдем ее:

определитель исходной матрицы мы уже находили, он равен: ;

транспонируем исходную матрицу: ;

для каждого элемента транспонированной матрицы нужно найти алгебраические дополнения:

; ; ; ; ; ; ; ; .

записать их в транспонированную матрицу вместо ее элементов и разделить каждый элемент на определитель исходной матрицы:

.

Подставляем в формулу ( 4.5 ):

.

Ответ: .

Решение (методом Гаусса-Жордано):

Составляем расширенную матрицу системы и преобразуем к треугольному виду. Умножим элементы первой строки на (-2) и сложим с соответствующими элементами третьей строки. Затем умножим элементы второй строки на 3 и сложим с соответствующими элементами третьей строки:

получили треугольную матрицу, которая соответствует системе:

.

Ответ: ; ; .

Сложная функция. (суперпозиция функций). Пусть функция у = f(u) есть функция от переменной u, определенная на множестве U с областью значений - У, а переменная u = ?(х) функция от переменной х, определенной на множестве Х с областью значения U. Тогда заданная на множестве Х функция у = f(?(x)) называется сложной функцией (функцией от функций). Например, у = lg sin 3х. Эту сложную функцию от х можно расписать, как цепочку простых функций: у= lg u, u = sin t, t = 3x.
Решение систем линейных уравнений