Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Решение дифференциальных уравнений Использование метода Фурье Примеры решения задач Приближенный метод интегрирования систем Примеры решения типовых задач Контрольная работа Линейная алгебра

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Пример . Найти сумму матриц  и , где , .

Решение:

Ответ:.

Определение 4.9. Результатом умножения матрицы  на число  является матрица  (такой же размерности, что и исходная), у которой элементы равны соответствующим элементам исходной матрицы, умноженным на это число:  или

Пример 4.2. Найти матрицу , где , .

Решение: .

Ответ: .

Определение 4.10. Разность матриц  и  определяется через введенные выше операции: .

Пример 4.3. Найти разность матриц :  и .

Решение: .

Ответ: .

Определение 4.11. Пусть даны две матрицы   и  , причем число столбцов матрицы  равно числу строк матрицы . Произведением  на  называется матрица, элементы которой находятся по формуле: , .

Пример 4.4. Найти произведение двух матриц:  и .

Решение:  .

Ответ: .

Правило умножения матриц иногда формулируют так: чтобы получить элемент, стоящий в -той строке и -том столбце матрицы равной произведению двух матриц, нужно элементы -той строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы -того столбца второй матрицы и полученные произведения сложить. Отсюда становится понятно, что требование одинаковых размерностей по столбцам первой матрицы и строкам второй матрицы является важным условием для существования произведения этих матриц.

В частности, при умножении вектора-строки и вектора-столбца одинаковой размерности получится число (равное скалярному произведению векторов): . Наоборот, если перемножить вектор-столбец на вектор-строку получится квадратная матрица: .

Перечислим свойства операций над матрицами:

1)

2)

3)

4) Для матрицы :

5)

6)

7)

8) ;

9) ;

10)

11)

12)

13) ; .

14)

15)

16) Для любой квадратной матрицы .

Замечание. Относительно свойств 12) и 13) заметим, что если действия, указанные по одну сторону равенств, возможны, то возможны и действия, указанные по другую сторону равенства, и результаты в обеих частях одинаковы.

Определитель матрицы. Необходимость во введение понятия определителя связано с решением систем линейных уравнений. Обозначается определитель как , или , или .

Определение 4.12. Определителем матрицы первого порядка , или определителем первого порядка называется элемент : .

Определение 4.13. Определителем матрицы второго порядка  называется число, определяемое как разность между произведением элементов главной диагонали и произведением элементов побочной диагонали: .

Судьба открытия Лобачевского. В 2004 г. Казанский Государственный Университет будет отмечать 200 летие своего существования. Имя Николая Ивановича Лобачевского тесно связано с Казанским Университетом и составляет его гордость. Николай Иванович помимо научных трудов, вел громадную работу, как профессор, главный библиотекарь, декан, а позднее - ректор Университета, при нем развернулось строительство Университетского прекрасного архитектурного ансамбля. Умер он 12 февраля 1856г., так и не дождавшись признания своих идей. Эти идеи были враждебно встречены даже известными математиками того времени.
Решение систем линейных уравнений