Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Решение дифференциальных уравнений Использование метода Фурье Примеры решения задач Приближенный метод интегрирования систем Примеры решения типовых задач Контрольная работа Линейная алгебра

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Линейная алгебра

В данном разделе рассматриваются такие объекты, как матрицы и действия над ними, а также определители, которые затем используются для решения систем линейных уравнений.

Матрицы

Определение 4.1.

Матрицей размера  называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из  строк и   столбцов. Числа, из которых состоит матрица, называются ее элементами и нумеруются двумя индексами, обозначающими соответственно номер строки и номер столбца, в которых расположен этот элемент.

В общем виде матрица обозначается так:

  или ,

или кратко одной буквой , или , где первый индекс:  – индекс, обозначающий номер строки, второй индекс:  – номер столбца, в котором расположен элемент .

В частности, если матрица содержит одну строку и несколько столбцов   матрица называется матрицей-строкой (или вектор-строка): .

Если же матрица содержит несколько строк и один столбец , то матрица называется матрицей-столбцом (или вектором- столбцом):. Если , то матрицу называют квадратной порядка .

Определение 4.2. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковую размерность и числа, стоящие на соответствующих местах этих матриц, равны.

Определение 4.3. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается как .

Определение 4.4. Единичной называют матрицу, у которой по главной диагонали расположены единицы, а все остальные элементы равны нулю: .

Определение 4.5. Матрица , полученная из матрицы  заменой строк столбцами с теми же номерами и наоборот, называется транспонированной по отношению к матрице :

Если , то .

Определение 4.6. Треугольной называется матрица, у которой все элементы, расположенные ниже (или выше) элементов главной диагонали, равны нулю. Например,  и  – две треугольные матрицы:

, .

Определение 4.7. Диагональной называется матрица, у которой все элементы, кроме расположенных на главной диагонали, равны нулю:

.

Основные операции над матрицами

Определение 4.8. Суммой матриц  и  одинаковой размерности называется матрица  такой же размерности, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц  и :

.

( 4.1 )

Обозначают операцию сложения как

Судьба открытия Лобачевского. В 2004 г. Казанский Государственный Университет будет отмечать 200 летие своего существования. Имя Николая Ивановича Лобачевского тесно связано с Казанским Университетом и составляет его гордость. Николай Иванович помимо научных трудов, вел громадную работу, как профессор, главный библиотекарь, декан, а позднее - ректор Университета, при нем развернулось строительство Университетского прекрасного архитектурного ансамбля. Умер он 12 февраля 1856г., так и не дождавшись признания своих идей. Эти идеи были враждебно встречены даже известными математиками того времени.
Решение систем линейных уравнений