Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Решение дифференциальных уравнений Использование метода Фурье Примеры решения задач Приближенный метод интегрирования систем Примеры решения типовых задач Контрольная работа Линейная алгебра

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Использование метода Фурье при решении первой краевой задачи

Уравнение (7) будем решать в области 0<x<l, t>0, где l – конечное число, т.е. для конечной струны, с начальными условиями (3), (4) и граничными (5).

Идея метода Фурье (разделения переменных) состоит в том, что решение уравнения (7) ищется в виде

, (17)

т.е. функция двух переменных  представляется в виде произведения двух функций, каждая одной переменной. Найдем частные производные функций , исходя из (17), и, подставив в уравнение (7), получим

В последнем уравнении разделим переменные: Система линейных алгебраических уравнений Этот раздел является одним из основных в алгебре. Нет такой отрасли науки и приложений, где в том или ином виде не использовались бы системы линейных алгебраических уравнений. При решении экономических задач системы линейных уравнений наиболее употребимы как в аппарате исследования, так и при рассмотрении частных проблем.

. (18)

В выражении (18) слева стоит функция только от t, а справа – функция только от x. Равенство двух функций разных переменных при всех значениях означает, что каждая из этих функций есть постоянная, поэтому приравниваем каждую из них к некоторой неопределенной пока отрицательной константе (при выборе положительной постоянной решением задачи (18), (5) является тождественный ноль). Из соотношения (18) можно написать два независимых друг от друга дифференциальных уравнения:

, (19)

. (20)

Имеем два обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристические уравнения для них соответственно имеют вид:

 , отсюда ;

 , отсюда .

Тогда общие решения для уравнений (19), (20) примут вид:

, (21)

. (22)

Постоянные l, С1, С2, С3, С4 определим из граничных и начальных условий.

Итак, общее решение волнового уравнения (7) имеет вид

, (23)

 

Используем первое граничное условие (5) при  и :

.

Так как – произвольно, то . Используем второе граничное условие (5) при  с учетом того, что :

.

Последнее равенство выполняется для всех , если . Предположим, что . В противном случае при  и  получим тривиальное решение . Следовательно,  или , где n = ±1, ±2, … .

Значение  исключили, т.к. в этом случае получили бы тривиальное решение. Из последнего соотношения получим

 n = ±1, ±2, … . (24)

Итак, решение (23) при граничных условиях (5) примет вид для n = ±1, ±2, … :

. (25)

Для каждого значения n получим свое значение решения (25). Суммируя решения при всех значениях n, вновь получим решение дифференциального уравнения (7), удовлетворяющее условиям (5):

, (26)

 

где ,  – постоянные. Определим их из начальных условий (3), (4).

Подставляя  в (26), из условия (3) получим

. (27)

Соотношение (27) можно рассматривать как разложение в ряд Фурье нечетной на  периодической функции f(x) с коэффициентами разложения , определяемыми, как известно из теории рядов Фурье, соотношением

, n = 1, 2, … . (28)

Определим производную по t для решения (26):

Подставим  и получим начальное условие (4) в виде

. (29)

Соотношение (29) будем рассматривать как разложение в ряд Фурье нечетной на  периодической функции j(x) с коэффициентами разложения .

Тогда , n = 1, 2, … ,

или . (30)

 Итак, решение первой краевой задачи для волнового уравнения (7) представляется в виде ряда (26) с коэффициентами разложения (28), (30).

 Отметим важные физические особенности изучаемого явления. Объединяя в (26) оба члена в скобках, перепишем решение в виде

.

 Мы видим, что полное колебание струны слагается из ряда от­дель­ных колебаний вида . Уча­ствующие в таком элементарном колебании точки струны все колеблются с одной и той же часто­той или с одним и тем же перио­дом, которому отвечает тон определен­ной высоты. Амплитуда колебания каждой точки зависит от ее положения; она равна .

 Вся струна разбивается на n рав­ных участков, причем точки одного участка находятся всегда в одной и той же фазе, а точки со­седних участков – в прямо противоположных фазах. На рис. 2 изображены последовательные положения струны для случаев n = 1, 2, 3, 4. Точки, отделяющие один участок от другого, на­ходятся в покое; это так называемые узлы. Се­редины уча­стков (пучности) колеблются с наибольшей амплитудой. Описанное явление носит название стоячей волны; отсюда сам метод Фурье обычно называют методом стоячих волн.

 Основной тон определяется первой составляющей y1; ей отвечают частота  и период . Остальные тона, одновременно с основным издаваемые струной, или обер­тоны, характеризуют определенную «окраску» звука, или его тембр. Если нажать пальцем в середине струны, то сразу заглохнут как основной тон, так и нечетные обертоны, для которых там была пучность. Четные обертоны, для которых на середину струны приходится узел, все сохранятся; среди них роль основного тона будет играть второй обертон с периодом , и струна станет издавать октаву первоначального тона. Все это можно прочитать по полученному решению!

Функция. Классификация функций. Определение. Рассмотрим два множества Х и У, элементами которых могут быть любые объекты. Предложим, что каждому элементу х множества Х по некоторому закону или способу поставлен в соответствие определенный элемент у множества У, то говорят что на множестве Х задана функция у = ?(х), (или отображение множества Х во множество У).
Решение систем линейных уравнений