Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Решение дифференциальных уравнений Использование метода Фурье Примеры решения задач Приближенный метод интегрирования систем Примеры решения типовых задач Контрольная работа Линейная алгебра

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Пример. Вычислить координаты вектора , если известны декартовы координаты:   и .

Решение: По формуле, выражающей векторное произведение через декартовы координаты имеем:  

. Задача 2. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит в плоскости xOy, а ось симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус основания R = 0,5, высота цилиндра H = 2 и функция плотности , где r – полярный радиус точки.

Ответ: координаты вектора .

Пример 1.9. Вычислить , если , .

Решение: Так как у векторов  и  третья координата не задана, то можно выразить векторное произведение через определитель 3-го рода, подставив вместо нее нули: .

Ответ: .

Примеры решения типовых задач: векторная алгебра

Задача 1.1.

Даны два вектора  и . Найти координаты вектора .

Решение: Из свойства 1 следует, что , следовательно: .

Ответ: .

Задача 1.2

Найти координаты вектора , соединяющего точку  с координатами  и точку  с координатами .

Решение: Обозначим координаты точки  как , координаты точки  как . Из свойства 2 следует: вектор  имеет координаты . Подставляем исходные значения: .

Ответ: .

Задача 1.3

Доказать, что два вектора  и  коллинеарны.

Решение: Из свойства 3 следует, что для решения необходимо проверить выполнение равенства: . Подставим заданные значения координат: , откуда: . Равенство верно.

Ответ: исходные вектора коллинеарны.

Задача 1.4

Задан вектор  и известно, что точка  имеет координаты . Найти координаты точки  – начала вектора.

Решение: Введем обозначения:  – координаты вектора ,  – координаты точки ,  – координаты точки .

Из свойства 2 следует, что для решения необходимо решить два уравнения: ; .

Подставим известные величины: ; ; откуда искомые координаты: ; . Ответ: точка  имеет координаты .

Аксиоматический метод построения научной теории. "Начала" Евклида - образец аксиоматического построения научной теории. История создания неевклидовой геометрии. В настоящее время недоказуемость пятого постулата является строго доказанным математическим фактом. Три великих математика в 19 веке почти одновременно, независимо друг от друга пришли к одним результатам - недоказуемости пятого постулата и к созданию неевклидовой геометрии. Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) Янош Бойяй (1802-1860)
Решение систем линейных уравнений