Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Решение дифференциальных уравнений Использование метода Фурье Примеры решения задач Приближенный метод интегрирования систем Примеры решения типовых задач Контрольная работа Линейная алгебра

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Базис и разложение векторов

Определение 1.8. Линейной комбинацией векторов  называется вектор , а числа  - коэффициентами линейной комбинации.

Определение 1.9. Совокупность векторов  называется линейно независимой, если существуют такие числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что ; если же для заданных векторов равенство выполняется только тогда, когда все  , то вектора  называют линейно зависимыми.

Теорема 1.1. Пусть даны два ненулевых и неколлениарных вектора   и . Тогда любой вектор  можно представить в виде:   и притом, единственным образом.

Такое представление вектора называют разложением вектора по базису, набор  – базисом, а коэффициенты при базисе:  – координатами разложения.

С базисом на плоскости можно связать систему координат. Для этого на плоскости зафиксируется начало координат – точку О и тогда каждой точке А на плоскости соответствует вектор , который называется радиус-вектором точки. Координаты радиуса-вектора при разложении по базису  называются координатами точки в построенной системе координат: .

Основные понятия теории дифференциальных уравнений Дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором неизвестной является функция одной или нескольких переменных, причем в уравнение входят производные этой функции.

Самая распространенная система координат образуется двумя взаимно перпендикулярными векторами , длина которых равна единице: . Такая система координат называется декартовой прямоугольной системой координат.

Обычно векторы декартового базиса обозначают как , а координаты вектора  относительно декартова базиса как .

В декартовой системе координат справедливо свойство: длина вектора   равна: .

Кроме декартовой системы координат существует полярная и криволинейная система координат.

В общем случае введенный в пространстве базис называют аффинным, и, соответственно, систему координат, состоящую из произвольной точки  и векторного аффинного базиса пространства называют аффинной системой координат этого пространства. Точка   - начало аффинной системы координат.

Для любой системы координат (не только декартовой) справедливы следующие свойства:

1) линейные операции над векторами сводятся к таким же операциям над их соответствующими координатами;

2) координаты вектора равны разностям соответствующих координат его начала и конца;

3) векторы  и  коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:

Пример 1.2.

Даны два вектора  и . Доказать, что они могут быть базисом.

Решение:

По определению вектора могут быть базисом, если они ненулевые и неколлениарны, поэтому для доказательства нужно проверить выполнение 3 свойства – соотношение координат векторов не должно быть равным.

  равенство неверно, значит, вектора и  неколлениарны.

Ответ: вектора  и  являются базисом.

Пример 1.3.

Разложить по базису  и  вектор .

Решение: Обозначим координаты вектора  как ; тогда разложение вектора  по базису  и  можно записать по формуле: . Согласно свойству 1, операции над векторами можно заменить операциями над их координатами; подставим координаты в уравнение, получаем следующую систему: . Решив эту систему, получаем

Ответ: .

Аксиоматический метод построения научной теории. "Начала" Евклида - образец аксиоматического построения научной теории. История создания неевклидовой геометрии. В настоящее время недоказуемость пятого постулата является строго доказанным математическим фактом. Три великих математика в 19 веке почти одновременно, независимо друг от друга пришли к одним результатам - недоказуемости пятого постулата и к созданию неевклидовой геометрии. Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) Янош Бойяй (1802-1860)
Решение систем линейных уравнений