Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Решение дифференциальных уравнений Использование метода Фурье Примеры решения задач Приближенный метод интегрирования систем Примеры решения типовых задач Контрольная работа Линейная алгебра

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Пример. Методом сеток найти решения задачи

Решение. Возьмем квадратную сетку с шагом h=0,05. Значения  на 2-х начальных слоях найдем вторым способом; т.к.  и , будем иметь

, i = 0, 1, 2, … , 10. (42)

Правило Лопиталя применяется только для раскрытия неопределенностей.

ПРИМЕР.  – здесь нет неопределенности, правило Лопиталя не применимо; в точке   функция непрерывная и предел ее при   равен значению функции в предельной точке.

Решение задачи удобно оформить в таблицу, порядок заполнения которой следующий:

Вычисляем значения  при  и записываем в первую строку (она соответствует значению ). В силу симметрии задачи заполняем таблицу при . В первом столбце (он соответствует значению ) записываем краевые значения.

По формуле (42) находим , используя значения  из первой строки. Результаты записываем во вторую строку.

Вычисляем значения  на последующих слоях по формуле (37). При j=1 последовательно получаем:

,

,

. . .

.

Вычисления при j=2, 3, … , 10 проводятся аналогично. В последней строке табл. 11 приведены значения точного решения при .

Метод сеток численного решения дифференциальных уравнений параболического типа

Рассмотрим задачу для уравнения теплопроводности. Найти функцию , удовлетворяющую уравнению

 , (43)

начальному условию

  (44)

и краевым условиям:

 . (45)

Путем введения переменной  уравнение (43) приводится к виду , поэтому в дальнейшем примем . Покроем область сеткой, образованной прямыми:

, i = 0, 1, 2, … ; , j = 0, 1, 2, … .



Обозначим , ,  и приближенно заменим в каждом внутреннем узле  производную  разностным отношением , а производную  - одним из разностных отношений:

 .

Тогда получим два типа конечно-разностных уравнений:

  , (46)

 . (47)

Обозначив , приводим эти уравнения к виду:

, (48)

. (49)

Отметим, что для уравнения (46) была использована явная схема узлов (рис. 13), для уравнения (47) – неявная схема (рис. 14).

 


При подборе числа  в уравнениях (48), (49) следует учитывать два обстоятельства:

погрешность замены дифференциального уравнения разностным должна быть наименьшей;

разностное уравнение должно быть устойчивым.

Доказано, что уравнение (48) будет устойчивым при , а уравнение (49) – при любом . Наиболее удобный вид уравнение (48) имеет при :

  (50)

и при :

 . (51)

Оценка погрешности приближенных решений, полученных из уравнений (49), (50), (51) в полосе , , соответственно имеют вид:

, (52)

, (53)

, (54)

где  – точное решение задачи (43) – (45),

,

.

Из приведенных оценок погрешностей (52) – (54) видно, что уравнение (51) дает более высокую точность решения по сравнению с (50). Но уравнение (50) имеет более простой вид, кроме того, шаг l по аргументу t для уравнения (54) должен быть значительно меньше, что приводит к большему объему вычислений. Уравнение (47) дает меньшую точность, но при этом шаги l и h выбираются независимо друг от друга. Уравнения (48), (49) позволяют вычислять значения  на каждом слое по явным формулам через ее значение на предыдущем слое; уравнение (47) (неявная схема) этим свойством не обладает.

Методом сеток можно решить краевую задачу для неоднородного параболического уравнения

  .

Тогда соответствующее разностное уравнение, использующее явную схему узлов, имеет вид

 .

Различают три вида задач для этих уравнений : 1. задача Коши, для уравнений гиперболического и параболического типов - задаются начальные условия, граничные отсутствуют, область определения уравнения и его решения - вся плоскость; 2. краевая граничная задача, для уравнений эллиптического типа - задаются граничные условия на границе L = , области определения неизвестной функции, начальные условия отсутствуют; 3. смешанная задача, для уравнений гиперболического и параболического типов -задаются начальные и граничные условия.
Решение систем линейных уравнений