Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Решение дифференциальных уравнений Использование метода Фурье Примеры решения задач Приближенный метод интегрирования систем Примеры решения типовых задач Контрольная работа Линейная алгебра

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка

Требуется найти решение системы уравнений

 

удовлетворяющее начальным условиям ,  при .

Требуется определить значения функций y и z при значениях аргумента x0, x1, … , xk, xk+1, … , xn. Используем рекуррентные формулы типа (18):

, (20)

. (21)

Чтобы вычислять по этим формулам, нам необходимо знать у1, у2, z1, z2, которые можно найти по формулам типа (9) и (10):

,

.

Для применения этих формул нужно знать , , , , , . Их мы найдем из уравнений (19), (19′) последовательным дифференцированием:

,

.

Дифференцируя еще раз, найдем , .

Зная у1, у2, z1, z2, находим из уравнений (19) и (19′) , , , , , , , , ,  и заполняем табл. 8:

Таблица 8

х

у

z

x0

y0

z0

x1

y1

z1

x2

y2

z2

x3

y3

z3

По формулам (20), (21) найдем у3, z3, а из уравнений (19), (19¢) найдем , . Вычислив , , , , снова по формулам (20), (21) найдем у4, z4 и т.д.

Пример. Найти приближенные значения решений системы

Вычислить значения решений при х = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

Решение. Из условий находим .

Дифференцируя данные уравнения, найдем:

,

.

По формулам (20), (21) находим:

,

,

,

.

Теперь находим:

= 1,0050, = 0,1002,

= 1,0200, = 0,2013,

= 0,0050, = 0,1002,

= 0,0150, = 0,1011,

= 0,0100, = 0,0009

и заполняем табл. 9.

Далее по формулам (20) и (21) находим:

,

и аналогично

,

.

Заметим, что точным решением системы являются функции , .

Поэтому ; .

Различают три вида задач для этих уравнений : 1. задача Коши, для уравнений гиперболического и параболического типов - задаются начальные условия, граничные отсутствуют, область определения уравнения и его решения - вся плоскость; 2. краевая граничная задача, для уравнений эллиптического типа - задаются граничные условия на границе L = , области определения неизвестной функции, начальные условия отсутствуют; 3. смешанная задача, для уравнений гиперболического и параболического типов -задаются начальные и граничные условия.
Решение систем линейных уравнений