Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Решение дифференциальных уравнений Использование метода Фурье Примеры решения задач Приближенный метод интегрирования систем Примеры решения типовых задач Контрольная работа Линейная алгебра

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Оценка погрешности и точность вычислений

Оценить остаточный член метода Рунге-Кутта очень сложно, следует только отметить, что если  непрерывна и ограничена со своими производными до четвертого порядка и эти производные не очень велики, то с уменьшением шага сетки приближенное решение сходится к точному равномерно и остаточный член примерно равен .

Если ε – заданная точность вычислений, то в качестве начального шага нужно взять . Эффективная оценка погрешности метода Рунге-Кутта затруднительна. Поэтому для определения правильности выбора шага h на практике обычно применяют «двойной пересчет» на каждом этапе из двух шагов. А именно, исходя из текущего верного значения , вычисляют величину  двумя способами: один раз с шагом h, а другой – с двойным шагом H=2h. Если расхождение полученных значений не превышает допустимой погрешности, то шаг h для данного этапа выбран правильно и полученное с его помощью значение можно принять за . В противном случае шаг уменьшают в два раза.

Все промежуточные значения следует располагать в бланке расчета (табл. 3).

Таблица 3

i

x

y

Δy

1

2

3

4

i+1

Пример. Методом Рунге-Кутта найти на отрезке  решение дифференциального уравнения ;  с точностью .

Этапы решения:

Выбираем начальный шаг .

В промежуточных результатах сохраняем пять знаков после запятой, чтобы в результате получить четыре верных знака.

Результаты вычислений заносим в бланк расчета (см. табл. 3). Промежуточные вычисления заносим в табл. 4.

По найденным значениям , , …, как по координатам точек, строим ломаную – приближение интегральной кривой (рис. 7).

Порядок заполнения табл. 4:

Полагаем .

Записываем в первой строке таблицы данные значения , в нашем примере (0, 1).

Вычисляем , умножаем на h и заносим в таблицу в качестве , это же значение заносим в последний столбец таблицы.

Вычисляем во второй строке ; .

Вычисляем , умножаем на h и заносим в таблицу в качестве , а значение  заносим в последний столбец.

Записываем в третьей строке ; .

Вычисляем , умножаем на h и заносим в таблицу в качестве , а значение  заносим в последний столбец.

Записываем в четвертой строке ; .

Вычисляем , умножаем на h и заносим в таблицу в качестве  и в последний столбец.

Вычисляем сумму последнего столбца, делим на 6 и записываем в новой строке в качестве .

Вычисляем ,  и записываем в первую строку следующего шага.

Вычислив таким образом два шага, берем в качестве  и проделываем вновь пункты 2 –10.

Сравниваем y2, полученное при , и у, полученное при . Если они совпадут с точностью ε, то h можно оставить равным ; если нет, то в качестве h нужно взять  и проделать операции с 1 по 10 для того же значения x. Этапы решения оформляем в виде табл. 4.

Таблица 4

i

X

y

Δy

1

0

1

0,10000

0,10000

2

0,05

1,05

0,11000

0,22000

0

3

0,05

1,055

0,11050

0,22100

4

0,1

1,11050

0,12105

0,12105

0,11034

1

0

1,11034

0,12103

0,12103

2

0,15

1,17086

0,13209

0,26417

1

3

0,15

1,17637

0,13264

0,26526

4

0,2

1,24298

0,14430

0,14430

0,13246

0,2

1,24280

Проверка

1

0

1

0,20000

0,20000

Продолжение табл. 4

i

x

y

Δy

2

0,1

1,10000

0,24000

0,48000

3

0,1

1,12000

0,24400

0,48800

4

0,2

1,24400

0,28880

0,28880

0,24280

0,2

1,24280

Þ

1

0,2

1,24280

0,14428

0,14428

2

0,25

1,31494

0,15649

0,31299

2

3

0,25

1,32105

0,15710

0,31421

4

0,3

1,39990

0,16999

0,16999

0,15691

1

0,3

1,39971

0,16997

0,16997

2

0,35

1,48470

0,18347

0,36694

3

3

0,35

1,49144

0,18414

0,36829

4

0,4

1,58385

0,19838

0,19838

0,18394

0,4

1,58364

Проверка

1

0,2

1,24280

0,28856

0,28856

2

0,3

1,38708

0,33416

0,67483

3

0,3

1,41151

0,34230

0,68460

4

0,4

1,58510

0,39702

0,39702

0,34084

0,4

1,58364

Þ

1

0,4

1,58364

0,19836

0,19836

2

0,45

1,68382

0,21328

0,42656

4

3

0,45

1,69282

0,21403

0,42806

4

0,5

1,79767

0,22977

0,22977

0,21374

5

0,5

1,79743

Þ

Проверка

1

0,4

1,58364

0,09918

0,09918

2

0,425

1,63323

0,10291

0,20582

3

0,425

1,63510

0,10300

0,20600

4

0,45

1,68664

0,10683

0,10683

Окончание табл. 4

i

x

y

Δy

1,10297

1

0,45

1,68661

0,10683

0,10683

2

0,475

1,74002

0,11075

0,22150

3

0,475

1,74198

0,11085

0,22170

4

0,5

1,79746

0,11483

0,11487

0,11082

0,5

1,79743

Строим интегральную кривую по найденным значениям (табл. 5).

Таблица 5

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

y

1

1,11034

1,24280

1,39970

1,5836

1,7974

Различают три вида задач для этих уравнений : 1. задача Коши, для уравнений гиперболического и параболического типов - задаются начальные условия, граничные отсутствуют, область определения уравнения и его решения - вся плоскость; 2. краевая граничная задача, для уравнений эллиптического типа - задаются граничные условия на границе L = , области определения неизвестной функции, начальные условия отсутствуют; 3. смешанная задача, для уравнений гиперболического и параболического типов -задаются начальные и граничные условия.
Решение систем линейных уравнений