Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Решение дифференциальных уравнений Использование метода Фурье Примеры решения задач Приближенный метод интегрирования систем Примеры решения типовых задач Контрольная работа Линейная алгебра

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Геометрический смысл метода Эйлера:

Интегральная кривая заменяется ломаной, звенья которой имеют постоянную горизонтальную проекцию h. Первое звено касается искомой интегральной кривой в   (рис. 6).

Повышение точности решения может быть получено с помощью уменьшения шага интегрирования.

Пример 1. При  найти приближенное значение решения уравнения , удовлетворяющее начальному условию  при .

Решение. Разделим отрезок  на 10 равных частей точками ; 0,1; 0,2; …, 1,0. Следовательно, . Значения y1, y2, …, yn будем искать по формуле Эйлера: , или .

Таким образом, получаем

 ,

 ,

 . . .

В процессе решения составляем табл. 1.

Таблица 1

xk

yk

x0 = 0

x1 = 0,1

x2 = 0,2

x3 = 0,3

x4 = 0,4

x5 = 0,5

x6 = 0,6

x7 = 0,7

x8 = 0,8

x9 = 0,9

x10 = 1,0

1,0000

1,1000

1,2200

1,3620

1,5240

1,7164

1,9380

2,1918

2,4810

2,8091

3,1800

1,0000

1,2000

1,4200

1,6200

1,9240

2,2164

2,5380

2,8918

3,2810

3,7091

0,1000

0,1200

0,1420

0,1620

0,1924

0,2216

0,2538

0,2892

0,3281

0,3709

  —

Мы нашли приближенное значение . Точное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, будет .

Следовательно, .

Абсолютная погрешность 0,2566; относительная погрешность

 .

 

 

Пример 2. Используя метод Эйлера, найти значения функции y, определяемой дифференциальным уравнением  при начальном условии ; шаг 0,1. Ограничиться нахождением первых четырех значений y.

Решение. Находим последовательные значения аргумента: , , , . Вычислим соответствующие значения функции:

,

,

,

.

Таким образом, получаем следующие значения:

Таблица 2

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

y

1

1,1

1,183

1,254

1,315

Метод Рунге-Кутта позволяет получить более точное решение дифференциального уравнения. Метод также часто используется для нахождения значений функций в нескольких начальных точках, что требуется в других, еще более эффективных численных методах. Преимущество метода Рунге-Кутта в том, что он совсем не использует предыдущую информацию. Каждый его шаг делается как бы заново, и для вычисления значения функции в точке  используется лишь ее значение в точке .

Основным недостатком этого метода является его трудоемкость. Для получения следующего значения функции требуется несколько раз вычислять значение производной y′, т.е. обращаться к правой части дифференциального уравнения.

Существует несколько методов Рунге-Кутта различных порядков. Наиболее распространенным является метод четвертого порядка.

Выбираем шаг h и вводим следующие обозначения:

  и , i = 0, 1, 2, … .

Для получения значения функции  по методу Рунге-Кутта выполняется следующая последовательность операций:

  (6)

После этого приращение функции находим по формуле

  . (7)

Геометрический смысл легко проследить по формулам (6), из которых видно, что каждый шаг расчета представляет собой, в сущности, шаг по методу Эйлера. Сначала следует шаг h/2 из точки  под углом α1, , и приходим в точку . В этой точке вычисляем направление  и, делая шаг в этом направлении, снова из точки М0 попадаем в точку . Затем по направлению  снова из точки М0 делаем шаг величиной h, который приводит в точку , в которой вычисляем направление . Полученные четыре тангенса усредняются с весами  по формуле (7), и по окончательному направлению мы делаем окончательный шаг из  в .

Различают три вида задач для этих уравнений : 1. задача Коши, для уравнений гиперболического и параболического типов - задаются начальные условия, граничные отсутствуют, область определения уравнения и его решения - вся плоскость; 2. краевая граничная задача, для уравнений эллиптического типа - задаются граничные условия на границе L = , области определения неизвестной функции, начальные условия отсутствуют; 3. смешанная задача, для уравнений гиперболического и параболического типов -задаются начальные и граничные условия.
Решение систем линейных уравнений