Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Решение дифференциальных уравнений Использование метода Фурье Примеры решения задач Приближенный метод интегрирования систем Примеры решения типовых задач Контрольная работа Линейная алгебра

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Вывод уравнения колебания струны

В математической физике под струной понимают гибкую упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длиной l в начальный момент направлена по отрезку оси Ox от 0 до l. Предположим, что концы струны закреплены в точках x=0и x=l. Если струну отклонить от ее начального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, то точки струны начнут совершать движение, – говорят, что струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предположить, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Оx и в одной плоскости. Процесс колебания в этом случае описывается одной функцией U(x, t), которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t. Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы №1 Задача 1. Даны координаты вершин треугольника АВС:

Будем предполагать, что длина элемента струны  равня­ется ее проекции на ось Оx, т.е.  . (Мы пренебрегаем величиной по сравнению с 1).

Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое, обозначим его через Т.

Рассмотрим элемент струны ММ′. На концах этого элемента по касательным к струне действуют силы Т. Пусть касательные образуют с осью Ox углы φ и φ +Dφ. Тогда проекция на ось OU сил, действующих на элемент ММ′, будет равна . Так как угол φ мал, то можно предположить, что , и мы будем иметь

(К выражению, стоящему в скобках, мы применили теорему Лагранжа).

Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть ρ – линейная плотность струны. Тогда масса элемента струны будет ρDx. Ускорение элемента равно , следовательно, по принципу Даламбера будем иметь . Сокращая на Dx и обозначая , получаем уравнение движения

.

Это и есть волновое уравнение – уравнение колебания струны.

Функция U(x, t) описывает отклонение от положения равновесия каждой точки x, , струны в момент времени , l – длина струны; а2 характеризует скорость распространения волны.

Если на струну воздействует вынуждающая сила, мощность источников которой характеризуется функцией q(x, t), то уравнение колебания струны имеет вид

. (2)

Для однозначного разрешения дифференциального уравнения (2) ставятся следующие краевые задачи.

Первая краевая задача

Найти решение уравнения (2) в области 0<x<l, t>0, удовлетворяющее начальным условиям:

U(x, 0)=f(x), x<0<l; (3)

задано отклонение каждой точки струны от положения равновесия в момент времени t=0,

; (4)

заданы скорость каждой точки струны в момент времени t=0 и граничные условия:

; (5)

концы струны x=0 и x=l жестко закреплены.

Вторая краевая задача

Найти решение уравнения (2), удовлетворяющее в области t>0, 0<x<l начальным условиям (3), (4) и граничным условиям:

; (6)

концы свободны.

Функция. Классификация функций. Определение. Рассмотрим два множества Х и У, элементами которых могут быть любые объекты. Предложим, что каждому элементу х множества Х по некоторому закону или способу поставлен в соответствие определенный элемент у множества У, то говорят что на множестве Х задана функция у = ?(х), (или отображение множества Х во множество У).
Решение систем линейных уравнений