Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Решение дифференциальных уравнений Использование метода Фурье Примеры решения задач Приближенный метод интегрирования систем Примеры решения типовых задач Контрольная работа Линейная алгебра

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Задача Дирихле для круга

Пусть дан круг радиусом R с центром в начале координат (рис. 4). Будем искать функцию , гармоническую в круге и удовлетворяющую на его окружности условию , где  – заданная функция, непрерывная на окружности. Искомая функция должна удовлетворять в круге уравнению Лапласа (23)

.

Решаем уравнение методом Фурье (разделение переменных). Допустим, что частное решение ищется в виде . Несобственные интегралы. Интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ¥). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b].

Тогда получим .

Разделяем переменные:

.

Приравнивая каждую часть полученного равенства к постоянной , получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

.

Отсюда при  имеем:

 , (28)

 . (29)

Если , то

 , (30)

а решение второго уравнения будем искать в виде , что дает  или , т.е. m = ±k. Следовательно,

 . (31)

Заметим, что  как функция от j  есть периодическая функция с периодом 2p , так как . Поэтому из равенства (23) следует, что , а в равенстве (30) k может принимать одно из значений: 1, 2, 3… (). Далее, в равенствах (29) и (31) должно быть , так как в противном случае функция имела бы разрыв в точке  и не была бы гармонической в круге. Итак, мы получили бесчисленное множество частных решений уравнения (1), непрерывных в круге, которые можно записать в виде:

, n =1, 2, … .

Составим теперь функцию

 , (32)

которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также служит его решением. Остается определить величины А0, Аn, Вn так, чтобы эта функция удовлетворяла условию , т.е. .

Здесь мы имеем разложение функции  в ряд Фурье в промежутке . В силу известных формул находим:

 ,

 . (33)

Таким образом, решение уравнения Лапласа в круге нашли в виде ряда (32) с коэффициентами (33).

Перепишем решение в виде

.

Упростим полученный результат. Полагая , , представим выражение в квадратных скобках в виде

.

Рассмотрим ряд .

Этот ряд сходится при , и его сумма равна

.

Следовательно,

,

или, возвращаясь к прежним обозначениям, получим

  . (34)

Мы получили решение задачи Дирихле для круга в виде интеграла Пуассона.

Несобственные интегралы. Мы ввели понятие определенного интеграла от функции y = f(x) на отрезке а; b , когда функция y = f(x) была интегрируема (и, следовательно, ограничена) на конечном отрезке а; b . Если отрезок интегрирования бесконечен, или функция не ограничена на отрезке интегрирования, то мы встречаемся с понятием несобственного интеграла.
Решение систем линейных уравнений