Решение дифференциальных уравнений Примеры решения типовых задач Курс практики по математике Инженерная графика Машиностроительное черчение История дизайна Архитектура ПК Лабораторные работы Курс лекций по физике теплоэнергетика
Решение дифференциальных уравнений Использование метода Фурье Примеры решения задач Приближенный метод интегрирования систем Примеры решения типовых задач Контрольная работа Линейная алгебра

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Потенциальное течение жидкости или газа.

Уравнение неразрывности

Пусть внутри объема W, ограниченного поверхностью Г (в частности, W может быть и неограниченным), происходит те­чение жидкости. Пусть r – плотность жидкости. Скорость жидкости обозначим

,

где , ,  – проекции вектора  на оси координат. Выде­лим в теле W малый объем w, ограниченный поверхностью S. Через каждый элемент DS поверхности S за время Dt пройдет количество жидкости

,

где  – единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности S. Общее количество жидкости, поступившей в объем w (или вытекшей из объема w), выражается интегралом

 . (7) Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.

Количество жидкости в объеме w в момент t было .

За время Dt количество жидкости в силу изменения плотности изменится на величину

 . (8)

Предполагая, что в объеме w нет источников, заключаем, что это изменение вызвано притоком жидкости, количество кото­рой определено равенством (7). Приравнивая правые части ра­венств (7) и (8) и сокращая на Dt, получаем

 . (9)

Преобразуем поверхностный интеграл, стоящий слева, по формуле Остроградского. Тогда равенство (9) примет вид

,

или .

В силу произвольности объема и непрерывности подынтегральной функции получаем

,

или . (10)

Это и есть уравнение неразрывности течения сжимаемой жидкости.

Замечание. В некоторых задачах, например при рассмотре­нии процесса движения нефти или газа в подземной пористой среде к скважине, можно принять

,

где p – давление, k – коэффициент проницаемости, и , . Подставив в уравнение неразрывности (10), полу­чим

  ,

или . (11)

Если k – постоянная, то это уравнение принимает вид

и мы приходим к уравнению теплопроводности.

Вернемся к уравнению (10). Если жидкость несжимаемая, то ,  и уравнение (10) примет вид

 . (12)

Если движение потенциальное, т.е. вектор  есть градиент не­которой функции φ:

,

то уравнение (12) принимает вид

,

или , (13)

т.е. потенциальная функция скорости φ должна удовлетворять уравнению Лапласа. Во многих задачах, как, например, в зада­чах фильтрации, можно принять

,

где p – давление, k1 – постоянная; тогда получаем уравнение Лапласа для определения давления.

 . (13′)

Для уравнений (13) и (13′) краевые условия могут быть постав­лены в виде задачи Дирихле, задачи Неймана или в виде сме­шанной задачи.

Несобственные интегралы. Мы ввели понятие определенного интеграла от функции y = f(x) на отрезке а; b , когда функция y = f(x) была интегрируема (и, следовательно, ограничена) на конечном отрезке а; b . Если отрезок интегрирования бесконечен, или функция не ограничена на отрезке интегрирования, то мы встречаемся с понятием несобственного интеграла.
Решение систем линейных уравнений