Начертательная
Математика
Лабораторные
Электротехника
Конструирование
Примеры
Физика
Электрические сети

Инженерная графика

Курсовая
ТОЭ
Энергетика
Черчение
Практика
Расчеты
На главную

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Распространение тепла в неограниченном стержне

Пусть в начальный момент задана температура в различных сечениях неограниченного стержня. Требуется определить распределение температуры в стержне в последующие моменты времени. К задаче распространения тепла в неограниченном стержне сводятся физические задачи в том случае, когда стержень столь длинный, что температура во внутренних точках стержня в рассматриваемые моменты времени мало зависит от условий на концах стержня.

Если стержень совпадает с осью OX, то математическая задача формулируется следующим образом. Найти решение уравнения (3):

в области , , удовлетворяющее начальному условию (4): .

 Решая уравнение (3) методом разделения переменных, мы получим решение в виде (14). Перепишем его иначе: Пример. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

  (29)

(постоянная  включена в А(l), В(l)).

 Постоянные А и В изменяются при изменении l. Поэтому А и В можно считать функциями от l. В силу линейности уравнения (3) решением является также сумма решений вида (29):

 .

Интегрируя выражение (29) по параметру l в пределах от 0 до +¥, также получим решение

 , (30)

причем А(l) и В(l) таковы, что этот интеграл, его производная по t и вторая производная по x существуют и получаются путем дифференцирования интеграла по t и x.

 Подберем А(l), В(l) так, чтобы решение  удовлетворяло условию (4). Полагая в равенстве (30) , на основании условия (4) получаем

 . (31)

Предположим, что функция  такова, что она представлена интегралом Фурье

  ,

или

 

  (32)

Сравнивая правые части (31) и (32), получаем

. (33)

Подставив найденные выражения А(l), В(l) в формулу (30), получим

 


или, переставив порядок интегрирования, окончательно получим

 . (34)

Это и есть решение поставленной задачи. Преобразуем формулу (34). Вычислим интеграл, стоящий в круглых скоб­ках:

 . (35)

Это преобразование интеграла сделано путем подстановок:

 . (36)

Обозначим . (37)

Дифференцируя, получаем .

Интегрируя по частям, найдем

, или .

Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим

 . (38)

Определим постоянную C. Из (37) следует:

.

Следовательно, в равенстве (38) должно быть .

Итак, . (39)

Значение (39) интеграла (37) подставляем в (35):

.

Подставляя вместо b его выражение (36), получаем значение интеграла (35):

.

Подставив это выражение интеграла в решение (34), окончательно получим

 . (40)

Эта формула, называемая интегралом Пуассона, представляет собой решение поставленной задачи о распространении тепла в неограниченном стержне.

Случай стержня, ограниченного с одной стороны

Решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию  и краевому условию  , выражается формулой

 

Функция. Классификация функций. Определение. Рассмотрим два множества Х и У, элементами которых могут быть любые объекты. Предложим, что каждому элементу х множества Х по некоторому закону или способу поставлен в соответствие определенный элемент у множества У, то говорят что на множестве Х задана функция у = ?(х), (или отображение множества Х во множество У).

Теплоэнергетика

Архитектура ПК
Примеры задач
Физика
Лабораторные
Теория механизмов
Математика