Курс лекций по математике Основы векторной алгебры Примеры решения типовых задач

Решение дифференциальных уравнений
Примеры решения типовых задач
Курс практики по математике
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
История дизайна
Архитектура ПК
Лабораторные работы по оптоэлектронике
Лабораторные работы по электротехнике
Электрические аппараты
Курс лекций по физике
Малая теплоэнергетика
Промышленные выставки
Техника как искусство
Дворец промышленности
Эйфелева башня
Инженерный стиль
Архитектурный стиль
Первая Всероссийская выставка
Художественно-промышленная выставка
Выставки в Нижнем Новгороде
История теории дизайна
Новый стиль в Европе
Художественный авангард
Производственное искусство
Оформление революционных праздников.
Агитационно-массовое искусство
Первые школы дизайна
Баухауз
Иттен Иоханес
Работы студентов
Шлеммер Оскар
Баухауз в Дессау
Бройер Марсель
Баухауз в Берлине
ВХУТЕМАС и ВХУТЕИН
Стилевые направления
Эпоха джаза
Интернациональный стиль
Арт-Деко. Франция
Новации в области моды
Художественное формообразование в нацистской Германии
Дизайн для всех
Дизайн и техника
Обтекаемая форма
Начертательная геометрия
Примеры позиционных и
метрических задач
Решение дифференциальных уравнений
Примеры решения типовых задач
Эргономичный дизайн
Формирование профессии "дизайнер"
Истоки органического дизайна
Предвоенный дизайн в СССР
Транспортный дизайн
Элитарный дизайн
Послевоенный дизайн
Высшая  школа
формообразования
Поп-культура и поп-дизайн 60-х
Футуристическая  мода 60-х
Передняя Азия
Радикальный дизайн
Концептуальные поиски
советских дизайнеров
От модерна к постмодерну
Новый дизайн
Хай-тек –
стиль высоких технологий
Зодчество древнерусское
Мозаика и фреска
Иконопись
Страны Дальнего Востока
Художественное оформление
книги
Эпоха Возрождения
Искусство Древнего Египта
Ювелирное искусство
Adobe Illustrator
Стили и эффекты
Экспортирование изображений
 

В данном разделе рассматриваются такие геометрические объекты, как линии, поверхности и т.п. Исследование этих объектов заменяется исследованием их координат, представленных в виде уравнений. В начале раздела приводятся необходимые сведения из векторной алгебры.

Базис и разложение векторов

Скалярное произведение векторов Углом между двумя векторами называется часть плоскости между их лучами, если вектора приложить к одной точке

Определители 2-го и 3-го порядка Таблица, составленная из четырех элементов, выстроенных в два ряда и два столбца: , называется квадратной матрицей второго порядка.

Пример. Вычислить координаты вектора , если известны декартовы координаты:   и .

Задача Найти , если  и , где , , угол . Решение: Для решения необходимо знать длину векторов, что нам неизвестно, но даны данные по базису, поэтому перейдем от исходных векторов к базисным, подставим в формулу  выражения разложения векторов по базису:

Элементы линейной алгебры Определители второго порядка

В учебном пособии приводятся способы нахождения точных решений различных типов дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка и методы приближенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Каждый раздел пособия содержит теоретическое описание метода, образцы решения задач и набор задач для самостоятельного решения. Даются три типовых расчета: по методам решений дифференциальных уравнений с частными производными, а также по приближенным  и вариационным методам. Теоретические выкладки снабжены практическими примерами. 

Вычислить площадь параллелограмма, две стороны которого образованы векторами , , .

Аналитическая геометрия Уравнение линии Рассмотрим декартовую систему координат на плоскости.

Примеры решения типовых задач: прямая на плоскости Задача Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки (1,2) и (-2,3).

Уравнение плоскости Пусть в декартовой системе координат имеется некоторая плоскость, проходящая через точку , ее радиус-вектор будет иметь координаты . Зададим на этой же плоскости точку  с радиус-вектором . Очевидно, что вектор  также будет находиться в заданной плоскости

Примеры решения типовых задач: уравнение плоскости Задача Написать уравнение плоскости, проходящей через точку  параллельно плоскости .

Прямая в пространстве образуется пересечением двух плоскостей (если их нормали не параллельны), таким образом, прямую в пространстве можно задать системой уравнений

Кривые второго порядка

Примеры решения типовых задач: кривые второго порядка Задача Найти центр и радиус окружности, заданной уравнением .

Контрольная работа При выполнении контрольных заданий обязательно указывать название темы и номер задания, даже если задание не выполнено.

Пример выполнения контрольной работы Задание. Определить скалярное произведение  векторов, если , , , , .

Линейная алгебра В данном разделе рассматриваются такие объекты, как матрицы и действия над ними, а также определители, которые затем используются для решения систем линейных уравнений.

Пример . Найти сумму матриц  и , где , .

Пример. Вычислить определитель матрицы 2-го порядка: .

Пример . Вычислить определитель из предыдущего примера Решение: Задача состоит в том, чтобы получить как можно больше нулей в какой-нибудь из строк или столбцов, и, затем разложить по этой строке (столбцу) определитель. Получим нуль в первой строке в первом столбце. Для этого умножим элементы четвертого столбца на (-1) и сложим с элементами первого столбца, при этом определитель не изменится

Ранг матрицы

Примеры решения типовых задач: матрицы

Решение систем линейных уравнений Определители используются при решении систем линейных уравнений. Произвольная система линейных уравнений имеет вид:

Матричный метод Пусть дано матричное уравнение: , где  и  - заданные матрицы, причем матрица  – невырожденная. Требуется найти матрицу .

Произвольная система линейных уравнений

Примеры решения типовых задач: системы линейных уравнений Задача. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Задание. Выполнить действия с матрицами: .

Вычислить определитель матрицы: . Решение. Преобразуем определитель так, чтобы в первой строке все элементы стали нулевыми, за исключением элемента, расположенного в первом столбце. Для этого умножим все элементы первого столбца на (-2) и сложим с соответствующими элементами второго столбца

Найти общее и одно из частных решений системы линейных уравнений: .

Для таблично заданной функции (xi, yi) = f(xi), i =0,...,6, решить следующие задачи (далее будем эту функцию обозначать f(x)).