Начертательная
Математика
Лабораторные
Электротехника
Конструирование
Примеры
Физика
Электрические сети

Инженерная графика

Курсовая
ТОЭ
Энергетика
Черчение
Практика
Расчеты
На главную

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Пример. Разложить функцию по формуле Тейлора с центром разложения в точке  до членов второго порядка включительно.

  Решение. Найдем частные производные функции  до второго порядка включительно:

   

В точке  имеем

   Подставляя эти выражения в формулу Тейлора, получаем

 

В форме Пеано

 Упражнения для самостоятельной работы.

  1.Разложить данную функцию по формуле Тейлора с центром разложения в точке

  а)  

 б)

 в) .

2.Разложить данную функцию по формуле Тейлора с центром

разложения в данной точке до членов указанного порядка

включительно

а) до членов второго порядка;

б)   до членов третьего порядка;

в)   до членов третьего порядка;

г)   до членов четвертого порядка;

д)   до членов второго порядка.

17.ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

  Определение. Точка  называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует такая   окрестность  точки , что  для любой точки .

 Точка  называется точкой локального экстремума, если она является либо точкой локального максимума, либо точкой локального минимума.

 Приведем еще одно определение максимума и минимума функции.

 Пусть  тогда

 .

Если   при всех достаточно малых приращениях

независимых переменных, то функция  достигает максимума в точке .

Если   при всех достаточно малых приращениях

независимых переменных, то функция  достигает минимума в точке .

 Эти формулировки переносятся без изменения на функции любого числа переменных.

 Теорема 1 (необходимое условие экстремума).Если  - точка локального экстремума функции , имеющей непрерывные частные производные  в этой точке, то

 Доказательство. Дадим переменной  определенное значение . Тогда функция  будет функцией одной переменной . Так как при  она имеет экстремум, и имеет непрерывную производную , то  

Аналогично доказывается, что

Эта теорема не является достаточной для исследования вопроса об экстремальных значениях функции, но позволяет находить эти значения в тех случаях, в которых мы заранее уверены в существовании максимума или минимума.

  Пример. Функция  имеет производные

, которые обращаются в нуль при .

Но эта функция при указанных значениях не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, эта функция равна нулю в начале координат и принимает в как угодно близких точках от начала координат как положительные, так и отрицательные значения.

 Точки, в которых  (или не существует) и  (или не существует), называются критическими точками функции .

 Точки, в которых все частные производные первого

порядка равны нулю, называются точками стационарности функции или стационарными точками.

 Для исследования функции в критических точках установим достаточные условия экстремума функции двух переменных.

  Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой области, содержащей точку , функция  имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, пусть, кроме того, точка - стационарная, то есть  

 Обозначим

и . Тогда:

если , то в точке функция  имеет минимум;

если , то в точке функция  имеет максимум;

если , то экстремума в точке  нет;

если , то экстремум в этой точке может быть и

может не быть (требуется дальнейшее исследование).

 Доказательство. Напишем формулу Тейлора второго порядка для функции

   

+

 +,

  где  По условию - точка стационарности, поэтому . Из формулы Тейлора следует

 

 +.

  Используя введенные обозначения, запишем

 .

Выражение в квадратных скобках, то есть второй дифференциал , является квадратичной формой от   . Если выполнено условие , то квадратичная форма сохраняет постоянный знак. Этот знак совпадает со знаком  в некоторой окрестности точки , поскольку - величина бесконечно малая более высокого порядка малости, чем . Если:

 1) то  и  при любых достаточно

малых . Следовательно, при  в точке

функция  имеет минимум;

 2)  то  и  при любых

достаточно малых . Следовательно, при  в точке функция  имеет максимум;

 3) если  то может принимать как

положительные, так и отрицательные значения, поэтому экстремума в точке   нет;

4)если , то и при

 знак приращения функции определяется последующими слагаемыми в формуле Тейлора, поэтому требуется дополнительное исследование.


Теплоэнергетика

Физика