Найти частные производные функций Найти локальные экстремумы функции Криволинейные интегралы Система координат Найти предел Комплексные числа Производная по направлению

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Пример. Вычислить частные производные функции 

 Решение.

=

=

  Если функция , где функции  зависят от одного аргумента :  тогда функция  фактически зависит от одной переменной и можно находить полную производную :

 ,

но , а функции  зависят от одного аргумента , то частные производные обращаются в обыкновенные

 .

12.ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

  Пусть . Найдем полный дифференциал сложной функции:

 , но ,

 , поэтому

 

 

или .

Мы показали, что выражения полного дифференциала

функции нескольких переменных (дифференциала первого порядка) имеют одинаковый вид, если  - независимые переменные или функции независимых переменных. Это свойство первого дифференциала называется инвариантностью формы первого дифференциала.

13.ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НЕЯВНО

 Теорема. Пусть непрерывная функция  от  задается неявно уравнением , где - непрерывные функции в некоторой области, содержащей точку , координаты которой удовлетворяют уравнению , кроме того, Тогда

  

 Доказательство. Дадим приращение , тогда  получит приращение  и . Тогда

 ,

следовательно, 

Переходя к пределу при  получим

 .

 Пример. Найти производную функции , заданной неявно уравнением .

 Решение. Обозначим . Вычислим частные производные , тогда

 Рассмотрим уравнение вида . Если каждой паре чисел  из некоторой области соответствует одно или несколько значений , удовлетворяющих уравнению. Тогда это уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функций  от , частные производные неявной функции имеют вид:

   при .

14.ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ

  Пусть . Частные производные  являются функциями от переменных . В некоторых случаях для этих функций снова существуют частные производные, называемые частными производными второго порядка:

 

 - смешанные производные второго порядка.

 Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по , так и по . Получим частные производные третьего порядка

 

Частная производная го порядка  получается, если

функцию   раз продифференцировать по переменной ,

 а затем  раз по .

 Подобно тому, как дифференциал функции одной переменной является приращением ординаты касательной, полный дифференциал функции двух переменных есть приращение аппликаты касательной плоскости.

Пример. Найти частные производные второго порядка функции

Пример. Разложить функцию по формуле Тейлора с центром разложения в точке  до членов второго порядка включительно.

Пример. Найти локальные экстремумы функции  в области


На главную