Линейные уравнения первого порядка Неопределенный и определенный интегралы Найти интеграл Вычисление площади плоской фигуры Исследовать на сходимость ряд Понятие о математическом моделировании

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Площадь криволинейного сектора

Область, ограниченная непрерывной линией  и двумя лучами  и , где  и  – полярные координаты, называется криволинейным сектором (рисунок 13).

Рисунок 13 – Криволинейный сектор

Площадь криволинейного сектора находится по формуле

. (35)

Пример 52. Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепест-ковой розой»  (рисунок 14).

Рисунок 14 – «Трехлепестковая роза»

Решение. Найдем границы изменения величины : если , то , тогда , , а ; если , то  или , тогда , , а .

Пусть , тогда значение  изменяется от 0 до . Вычислим площадь половины одного лепестка «розы» и умножим ее на 6.

 (кв.ед.).

3.9.3 Вычисление длины дуги кривой

3.9.3.1 Пусть кривая  на отрезке  задана уравнением , тогда дифференциал дуги кривой . Интегрируя обе части равенства, получим формулу для нахождения длины дуги кривой:

. (36)

3.9.3.2 Если кривая  задана параметрическими уравнениями  , то дифференциал дуги кривой , тогда длина дуги кривой   находится по формуле

. (37)

Аналогично для пространственной кривой, заданной параметрически   длина дуги кривой равна

 . (38)

3.9.3.3 Если кривая  задана в полярной системе координат , , то дифференциал дуги кривой , а длина дуги находится по формуле

. (39)

Пример 53. Найти длину дуги кривой , заключенной между точками  и .

Решение. Кривая  задана в прямоугольной декартовой системе координат в явном виде. Для вычисления ее длины воспользуемся формулой , предварительно вычислив производную :

.

Пример 54. Найти длину дуги окружности , заключенной между точками  и .

Решение. Кривая задана параметрически. Для вычисления ее длины воспользуемся формулой , предварительно вычислив производные  и :

, .

.


На главную