Начертательная
Математика
Лабораторные
Электротехника
Конструирование
Примеры
Физика
Электрические сети

Инженерная графика

Курсовая
ТОЭ
Энергетика
Черчение
Практика
Расчеты
На главную

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Пример. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

Решение.

при , при  

(см. рисунок 4).

Итак,  сходится и равен .

Не всегда удается выяснить сходимость несобственных интегра-лов с помощью определения, поэтому используют признаки сравнения.

3.8.2 Несобственные интегралы от неограниченной функции

(второго рода)

При рассмотрении определенного интеграла предполагалось, что подынтегральная функция является ограниченной на . В том случае, когда функция не является ограниченной, задача интегрирования формулируется иначе.

Определение 10. Пусть функция  определена и непрерывна в ,  и стремится к бесконечности при . Составим интеграл

 . (26)

Предел этого интеграла при  называется несобственным интегралом второго рода (или интегралом от неограниченной функции) на интервале :

 . (27)

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл  сходится. Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл  расходится.

Если , то несобственный интеграл второго рода  (разрыв в точке ) равен площади бесконечно высокой криволинейной трапеции (рисунок 5).

Если функция  имеет бесконечный разрыв в точке , то

. (28)

Рисунок 5 – Геометрическая иллюстрация несобственного интеграла второго рода

Если функция  имеет разрыв во внутренней точке  отрезка , то несобственный интеграл второго рода имеет вид:

 . (29)

Интеграл  сходится, если оба несобственных интеграла  и  сходятся.

Пример 46. Вычислить интеграл  или доказать его расходимость.

Решение. Подынтегральная функция не определена в точке . По определению несобственного интеграла второго рода имеем

Так как существует конечный предел, то данный интеграл сходится и равен 2, то есть .

Пример 47. Вычислить интеграл  или доказать его расходимость.

Решение. Функция на отрезке  не определена в точке . По определению имеем

если , то .

Следовательно,  расходится.

Пример 48. Вычислить интеграл  или доказать его расходимость.

Решение. Функция  терпит разрыв во внутренней точке отрезка  . Поэтому данный интеграл представим в виде суммы двух несобственных интегралов

то есть сходится.

Аналогично можно показать, что интегралы , ,  сходятся при  и расходятся при .

Данные интегралы используются в признаке сравнения в качестве эталонных.

Не всегда удается выяснить сходимость несобственных интегра-лов второго рода с помощью определения, поэтому используют приз-наки сравнения.

Геометрический смысл определенного интеграла Формула Ньютона–Лейбница

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (первого рода)

Приложения определенного интеграла Вычисление площади плоской фигуры

Площадь криволинейного сектора Область, ограниченная непрерывной линией  и двумя лучами  и , где  и  – полярные координаты, называется криволинейным сектором


Теплоэнергетика

Физика