Начертательная
Математика
Лабораторные
Электротехника
Конструирование
Примеры
Физика
Электрические сети

Инженерная графика

Курсовая
ТОЭ
Энергетика
Черчение
Практика
Расчеты
На главную

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ

 Подобно тому, как дифференциал функции одной переменной является приращением ординаты касательной, полный дифференциал функции двух переменных есть приращение аппликаты касательной плоскости.

 Пусть функция имеет в точке  первые производные. На поверхности  рассмотрим три точки  , и проведем через них плоскость. Ее уравнение :

  ,

или   Считая , разделим левую и правую части уравнения на , получим

  Переходя к пределу при

, то есть , найдем

 

Если функция  дифференцируема, то полученное уравнение является уравнением касательной плоскости к поверхности  в точке . Можно доказать, что если на данной поверхности провести через точку  всевозможные кривые  и в этой точке построить к ним касательные, то все эти касательные располагаются в найденной плоскости.

 Определение. Касательной плоскостью к поверхности в ее точке  (точке касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

 Определение. Нормалью к поверхности называется прямая перпендикулярная касательной плоскости и проходящая через точку касания.

  Уравнение касательной плоскости:

 

 Уравнение нормали:

 Если уравнение поверхности задано неявно , то уравнение касательной плоскости имеет вид

 

 Уравнение нормали:

 Заметим, что приращение на касательной плоскости

дается формулой , то есть совпадает с полным дифференциалом  функции .

 Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности   в точке .

 Решение. Обозначим через  левую часть уравнения поверхности, найдем частные производные и их значения в точке :

 

Подставляя найденные значения частных производных в уравнения касательной плоскости и нормали, получаем

  или - уравнение касательной плоскости;

  или - уравнение нормали.

11.ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ

 Пусть , тогда  является сложной  функцией аргументов  Пусть функции - дифференцируемые функции своих аргументов. Вычислим .

  Дадим  приращение , сохраняя значение неизменным, тогда  получат приращения , а  получит приращение :

 .

Разделим левую и правую часть последнего равенства на :

 .

Если , то  в силу непрерывности функций  , но при этом и . Переходя к пределу при , получаем

  .

Аналогично, давая  приращение  при фиксированном  получим

 


Теплоэнергетика

Физика