Начертательная
Математика
Лабораторные
Электротехника
Конструирование
Примеры
Физика
Электрические сети

Инженерная графика

Курсовая
ТОЭ
Энергетика
Черчение
Практика
Расчеты
На главную

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (первого рода)

Определение 9. Пусть функция  определена и непрерывна на промежутке . Тогда существует определенный интеграл . При изменении значения  интеграл изменяется, он является непрерывной функцией . Предел этого интеграла при  называется несобственным интегралом первого рода от функции  на промежутке :

 . (23)

Если этот предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то  называется расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке

  . (24)

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется так:

, (25)

где  – произвольное число.

Данный интеграл сходится, если сходятся оба интеграла в правой части. Если хотя бы один из интегралов в правой части равенства расходится, то и   расходится.

Если непрерывная функция на промежутке  и интеграл  сходятся, то он выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной линиями ,  и осью абсцисс (рисунок 3).

Рисунок 3 – Геометрическая иллюстрация несобственного интеграла первого рода

Пример 41. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .

Решение. Имеем

при  ,

рисунок 4.

Рисунок 4 – График функции

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно .

Пример 42. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .

Решение.

то есть  расходится.

Пример 43. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .

Решение.

Но  при  не стремится ни к какому пределу, а поэтому  не существует и  расходится.

Пример 44. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .

Решение. Пусть , тогда

.

Таким образом,  – расходится.

Пусть , тогда

так как , то при  , а ,

то есть при   сходится и равен .

Пусть , тогда

так как , то , а ,

тогда при , то есть при   расходится.

Итак, имеем

Этот интеграл часто используется в признаке сравнения в качестве эталонного.


Теплоэнергетика

Физика