Начертательная
Математика
Лабораторные
Электротехника
Конструирование
Примеры
Физика
Электрические сети

Инженерная графика

Курсовая
ТОЭ
Энергетика
Черчение
Практика
Расчеты
На главную

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Геометрический смысл определенного интеграла

Определение 8. Фигура, ограниченная сверху графиком неотри-цательной функции , снизу – осью , справа и слева – прямыми  и , называется криволинейной трапецией
(рисунок 2).

Рисунок 2 – Геометрическая иллюстрация определенного интеграла

Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

 . (17)

В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.

3.3 Формула Ньютона–Лейбница

Пусть функция  интегрируема на . Если функция  непрерывна на отрезке  и  – какая-либо ее первообразная на , то

 . (18)

Данная формула позволяет вычислить определенный интеграл.

Пример 38. Вычислить интеграл .

Решение.

 Основные свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

.

.

Постоянный множитель можно выносить за знак определен-ного интеграла:

,

где .

Интеграл от суммы (разности) двух или нескольких интегрируемых на отрезке  функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций, то есть

.

.

Если , то .

Теорема «о среднем». Если функция  непрерывна на , то существует точка  такая, что

.

Число  – среднее значение функции  на отрезке .

Если функция  на отрезке , то  на этом отрезке.

Если на отрезке  , то .

 Если  и  – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции  на отрезке , то

.

 .

 Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции

.

 Замена переменной в определенном интеграле

Пусть для вычисления интеграла  от непрерывной функции на отрезке  сделана подстановка .

Теорема 9. Если:

функция  и ее производная  непрерывны на отрезке ,

, ,

функция  определена и непрерывна на отрезке , то

 . (19)

Пример 39. Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем тригонометрическую подстановку , тогда .

Найдем пределы интегрирования:

если , то ,

если , то .

Тогда

 Интегрирование по частям

Если функции  и  имеют непрерывные производные на отрезке , то имеет место формула

  . (20)

Пример 40. Вычислить интеграл .

Решение.

, тогда

 Интегрирование четных и нечетных функций в

симметричных пределах

Пусть функция  непрерывна на отрезке , симметрич-ном относительно точки .

Если функция  нечетная, то есть , то

 . (21)

Пусть функция  четная на , то есть , тогда

 . (22)

 Несобственные интегралы

Определенные интегралы от непрерывной функции, но с беско-нечным промежутком интегрирования или определенные интегралы с конечным промежутком интегрирования, но от неограниченной функции, называются несобственными интегралами.


Теплоэнергетика

Физика