Линейные уравнения первого порядка Неопределенный и определенный интегралы Найти интеграл Вычисление площади плоской фигуры Исследовать на сходимость ряд Понятие о математическом моделировании

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Интегрирование иррациональных функций

Интеграл вида , где – рациональная функция

Подынтегральная функция с помощью подстановки , , где  – наименьший общий знаменатель дробей , преобразуется в рациональную функцию от .

Пример 33. Найти интеграл .

Решение. Сделаем подстановку , где 6 – наименьший общий знаменатель дробей , ; найдем . Тогда

.

Под знаком интеграла – неправильная рациональная дробь. Путем деления числителя на знаменатель выделим целую часть и представим дробь в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби:

Итак, .

Тогда

2.8.2 Интеграл вида

Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где  – наименьший общий знаменатель дробей . Из данного равенства следует выразить  и найти .

Пример 34. Найти интеграл .

Решение. Сделаем подстановку . Выразим из данного равенства :

, ,

, .

Найдем :

Подставим в интеграл и получим

к данному интегралу применяем метод интегрирования по частям: , тогда

вернемся к старой переменной

2.8.3 Интегралы вида , ,

В данных интегралах используют тригонометрические подстановки.

2.8.3.1 ,

, ,

.

Пример 35. Найти интеграл .

Решение. Сделаем подстановку , , , получим

2.8.3.2 ,

, , , .

Пример 36. Найти интеграл .

Решение. Сделаем подстановку , , , . Тогда

.

2.8.3.3 ,

, , , .

Пример 37. Найти интеграл .

Решение. Сделаем подстановку , , , , получим

3 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

3.1 Понятие определенного интеграла

Пусть на отрезке  задана непрерывная функция  (рисунок 1).

Рисунок 1 – График функции

Разобьем отрезок  произвольным образом на  частей точками , , , …, , причем . Длину частичного отрезка разбиения  обозначим через , то есть . В каждом частичном отрезке  произвольным образом выберем точку  и найдем значение функции  в каждой точке:

, , …, , …, .

Составим сумму

  (15)

Данная сумма называется интегральной суммой для функции  на отрезке .

Пусть  – длина наибольшего частичного отрезка разбиения: . Найдем предел интегральной суммы при :

.

Определение 7. Если интегральная сумма  имеет предел , который не зависит ни от способа разбиения отрезка  на частичные отрезки, ни от выбора точек  в них, то этот предел называют определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначают .

Таким образом,

 , (16)

где  – нижний предел интегрирования;

 – верхний предел интегрирования;

 – подынтегральная функция;

 – подынтегральное выражение;

 – переменная интегрирования;

 – отрезок интегрирования.

Теорема Коши. Если функция  непрерывна на отрезке , то определенный интеграл  существует.


На главную