Начертательная
Математика
Лабораторные
Электротехника
Конструирование
Примеры
Физика
Электрические сети

Инженерная графика

Курсовая
ТОЭ
Энергетика
Черчение
Практика
Расчеты
На главную

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Интегрирование иррациональных функций

Интеграл вида , где – рациональная функция

Подынтегральная функция с помощью подстановки , , где  – наименьший общий знаменатель дробей , преобразуется в рациональную функцию от .

Пример 33. Найти интеграл .

Решение. Сделаем подстановку , где 6 – наименьший общий знаменатель дробей , ; найдем . Тогда

.

Под знаком интеграла – неправильная рациональная дробь. Путем деления числителя на знаменатель выделим целую часть и представим дробь в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби:

Итак, .

Тогда

2.8.2 Интеграл вида

Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где  – наименьший общий знаменатель дробей . Из данного равенства следует выразить  и найти .

Пример 34. Найти интеграл .

Решение. Сделаем подстановку . Выразим из данного равенства :

, ,

, .

Найдем :

Подставим в интеграл и получим

к данному интегралу применяем метод интегрирования по частям: , тогда

вернемся к старой переменной

2.8.3 Интегралы вида , ,

В данных интегралах используют тригонометрические подстановки.

2.8.3.1 ,

, ,

.

Пример 35. Найти интеграл .

Решение. Сделаем подстановку , , , получим

2.8.3.2 ,

, , , .

Пример 36. Найти интеграл .

Решение. Сделаем подстановку , , , . Тогда

.

2.8.3.3 ,

, , , .

Пример 37. Найти интеграл .

Решение. Сделаем подстановку , , , , получим

3 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

3.1 Понятие определенного интеграла

Пусть на отрезке  задана непрерывная функция  (рисунок 1).

Рисунок 1 – График функции

Разобьем отрезок  произвольным образом на  частей точками , , , …, , причем . Длину частичного отрезка разбиения  обозначим через , то есть . В каждом частичном отрезке  произвольным образом выберем точку  и найдем значение функции  в каждой точке:

, , …, , …, .

Составим сумму

  (15)

Данная сумма называется интегральной суммой для функции  на отрезке .

Пусть  – длина наибольшего частичного отрезка разбиения: . Найдем предел интегральной суммы при :

.

Определение 7. Если интегральная сумма  имеет предел , который не зависит ни от способа разбиения отрезка  на частичные отрезки, ни от выбора точек  в них, то этот предел называют определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначают .

Таким образом,

 , (16)

где  – нижний предел интегрирования;

 – верхний предел интегрирования;

 – подынтегральная функция;

 – подынтегральное выражение;

 – переменная интегрирования;

 – отрезок интегрирования.

Теорема Коши. Если функция  непрерывна на отрезке , то определенный интеграл  существует.


Теплоэнергетика

Физика