Начертательная
Математика
Лабораторные
Электротехника
Конструирование
Примеры
Физика
Электрические сети

Инженерная графика

Курсовая
ТОЭ
Энергетика
Черчение
Практика
Расчеты
На главную

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших

При интегрировании правильных дробей необходимо:

разложить знаменатель дроби на простейшие линейные или квадратные множители, дискриминант которых меньше нуля;

представить данную дробь в виде суммы простейших дробей типа I–IV по правилу разложения правильной дроби на сумму простейших;

привести полученные дроби к наименьшему общему знаменателю;

приравнять числители данной дроби и полученной дроби;

приравнять коэффициенты при одинаковых степенях много-членов левой и правой частей полученного равенства на основании теоремы о равенстве двух многочленов;

решить систему уравнений относительно неизвестных коэффи-циентов, входящих в числители простейших дробей;

подставить найденные коэффициенты в разложение данной дроби на сумму простейших дробей;

найти интегралы от суммы простейших дробей.

Описанный метод называется методом неопределенных коэффи-циентов.

Правило разложения правильной рациональной дроби на сумму простейших заключается в следующем:

1. Каждому неповторяющемуся множителю вида  в разло-жении знаменателя правильной рациональной дроби соответствует одна простейшая дробь вида .

2. Каждому неповторяющемуся множителю вида  в разло-жении знаменателя правильной рациональной дроби соответствует сумма простейших дробей:

.

3. Каждому неповторяющемуся множителю вида  () в разложении знаменателя правильной рациональной дроби соответствует одна простейшая дробь вида

.

4. Каждому неповторяющемуся множителю вида  

в разложении знаменателя правильной рациональной дроби соответствует сумма  простейших дробей:

.

2.6.4 Интегрирование неправильных рациональных дробей

2.6.4.1 Если рациональная дробь  неправильная, то ее нужно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби путем деления числителя на знаменатель, то есть

. (10)

2.6.4.2 Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей;

2.6.4.3 Проинтегрировать многочлен и полученную сумму прос-тейших дробей.

Рассмотрим примеры.

2.6.5 Корни знаменателя действительные и различные

Пример 20. Найти интеграл .

Решение. Дробь под знаком интеграла правильная, так как степень числителя меньше степени многочлена.

а) Разложим знаменатель на простые множители

.

Найдем корни квадратного трехчлена по теореме Виета:

Тогда .

б) Подынтегральную функцию представим в виде суммы прос-тейших дробей с неопределенными коэффициентами

.

Правую часть приведем к общему знаменателю

.

Так как две дроби с одинаковыми знаменателями равны, то тождественно равны их числители

 . (11)

Для нахождения неопределенных коэффициентов применяют метод отдельных значений аргумента: аргументу  придают число-вые значения столько раз, сколько неопределенных коэффициентов. Обычно за  берут значения действительных корней знаменателя. Пусть . Подставим это значение в левую и правую части тождества (11), получим

.

Пусть .

,

отсюда

.

Пусть .

,

отсюда

.

в) Таким образом, интеграл может быть представлен в виде суммы трех простейших интегралов

.

2.6.6 Корни знаменателя действительные, среди них есть

кратные

Пример 21. Найти интеграл .

Решение.

а) Разложим знаменатель на простые множители. Методом подбора можно установить, что один корень равен 1, тогда многочлен  делится без остатка на :

Имеем

.

б) Подынтегральная функция может быть представлена в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами

.

Правую часть приведем к общему знаменателю, получим

.

Приравняем числители, получим тождество

.

Пусть , тогда

, .

Пусть , тогда

, .

Так как действительных корней больше нет, то пусть, например, , тогда

.

В данное равенство подставим известные значения  и , найдем : , , .

в) Таким образом,

2.6.7 Корни знаменателя комплексные и различные

Пример 22. Найти интеграл .

Решение. Под знаком интеграла правильная рациональная дробь, так как степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя.

Квадратный трехчлен  не имеет действительных корней, так как дискриминант . Оба множителя знаменателя не имеют действительных корней, то есть корни знаменателя комплексные, поэтому подынтегральная функция может быть представлена в виде суммы двух простейших дробей

.

Приведем правую часть к общему знаменателю:

.

Данные дроби с одинаковыми знаменателями равны, следова-тельно, тождественно равны их числители

.

Раскроем в правой части скобки и сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями:

.

Два многочлена тождественно равны, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях :

Решим систему методом Гаусса, для этого выпишем расширен-ную матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членах и сведем ее к ступенчатому виду:

.

Первую строку умножим на  и сложим с третьей строкой, вторую строку умножим на  и сложим с четвертой строкой, получим матрицу

.

Третью строку умножим на 8 и сложим с четвертой строкой, получим матрицу

.

Четвертую строку разделим на 17, получим матрицу

.

Запишем систему уравнений для полученной матрицы:

Таким образом, интеграл может быть представлен в виде суммы двух интегралов:

2.6.8 Общий случай


Теплоэнергетика

Физика