Найти частные производные функций Найти локальные экстремумы функции Криволинейные интегралы Система координат Найти предел Комплексные числа Производная по направлению

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Системы линейных дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных. Такая система, записанная в нормальной форме, имеет вид

, .

(1.33)

Введем обозначения

, , .

Тогда систему можно записать в векторной форме

.

(1.34)

Если , то систему

.

(1.35)

называют однородной. В противном случае ее называют неоднородной. Если коэффициенты aij не зависят от времени, то систему называют системой с постоянными коэффициентами. [an error occurred while processing this directive]

Если известно общее решение  однородной системы (1.35), и какое-либо частное решение  неоднородной системы (1.34), то их сумма:

является общим решением неоднородной системы.

Частное решение однородной системы с постоянными коэффициентами будем искать в виде

,,

где .

Подставляя функции xi в систему (c), получим

, .

Сокращая на  и перенося все слагаемые в левую часть, придем к однородной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов j:

, .

(1.36)

Определитель матрицы коэффициентов этой системы:

.

Ненулевые решения возможны только тогда, когда он равен нулю. Алгебраическое уравнение n-й степени

называется характеристическим уравнением системы (с). Это уравнение имеет ровно n действительных или комплексных корней i (считая с кратными), называемых собственными значениями однородной системы. Каждому корню соответствуют n собственных функций

,

где ik определяются из системы (1.36); при этом один из коэффициентов ik берется произвольно, так как в системе (1.36) только   независимых уравнений. Если эти собственные функции линейно независимы, то общим решением однородной системы будет их линейная комбинация

,

содержащая n произвольно выбранных коэффициентов.

Пример. Решить систему:

.

Ее характеристическое уравнение

.

,

откуда . Подставляя найденные корни в систему (1.36), получим

.

Определитель этой системы равен нулю и одно из уравнений является следствием другого. Полагая , из первого уравнения получим: . Аналогично можно найти: , . Первому корню соответствует решение

,

второму корню – решение

,

комплексно сопряженное с первым.

За систему частных решений можно взять отдельно действительные или мнимые части. Общее решение имеет вид:

.

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называют уравнение

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Неопределенный и определенный интегралы

Метод подведения под знак дифференциала Если подынтегральное выражение содержит некоторую функцию и ее производную, то в этом случае используют метод подведения под знак дифференциала


На главную